Question

.......au o singura solutie comuna.

Answer 1

Salut,

Observăm că x = 0 nu este soluție pentru niciuna dintre cele 2 ecuații.

Aflăm valoarea lui "a" din a doua ecuație:

$a=\dfrac{x-1}{x^2}$

Folosim această valoare în prima ecuație (procedeul se numește eliminarea parametrului "a" între cele 2 ecuații), vom obține o ecuație care nu mai depinde de "a":

$\left(2\cdot \dfrac{x-1}{x^2}-1\right)\cdot x^2+6\cdot\dfrac{x-1}{x^2}\cdot x+1=0,\ sau\\\\\dfrac{2x-2-x^2}{x^2}\cdot x^2+\dfrac{6x^2-6x}{x^2}+1=0,\ sau\ 2x-2-x^2+6-\dfrac{6}x+1=0,\ sau\\\\-x^2+2x+5-\dfrac{6}x=0\ \Bigg{|}\ \cdot(-x)\Rightarrow x^3-2x^2-5x+6=0\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow x^3-x^2-x^2+1-5x+5=0\Leftrightarrow x^2(x-1)-(x^2-1)-5(x-1)=0,\ sau\\\\x^2(x-1)-(x^2-1)-5(x-1)=0\Leftrightarrow x^2(x-1)-(x-1)(x+1)-5(x-1)=0\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow (x-1)(x^2-x-1-5)=0\Rightarrow (x-1)(x^2-x-1-5)=0\Rightarrow\\\\\Rightarrow (x-1)(x^2-x-6)=0\Leftrightarrow (x-1)(x^2-9-x+3)=0\Rightarrow\\\\\Rightarrow (x-1)[(x+3)(x-3)-(x-3)]=0\Leftrightarrow(x-1)(x-3)(x+2)=0.$

Din cele de mai sus, avem că:

x₁ = --2. Cu a doua ecuație obținem a₁ = --3/4.

x₂ = 1. Cu a doua ecuație obținem a₂ = 0.

x₃ = 3. Cu a doua ecuație obținem a₃ = 2/9.

Green eyes.

Answer 2

Niciuna dintre cele două ecuații nu admite rădăcina x = 0.

Notăm rădăcina comună cu r, (r ≠ 0) și vom avea:

$\it (2a-1)r^2+6ar+1= ar^2-r+1 \Rightarrow 2ar^2-r^2+6ar+1-ar^2+r-1=0\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow ar^2+6ar-r^2+r=0|_{:r} \Rightarrow ar+6a-r+1=0 \Rightarrow ar+6a=r-1 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow a(r+6)=r-1 \Rightarrow a=\dfrac{r-1}{r+6}\ \ \ \ \ (1)$

Pentru rădăcina comună r, ecuația a doua devine:

$\it ar^2 - r + 1 = 0\ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),(2) \Rightarrow \dfrac{r-1}{r+6}r^2-r+1=0 \Rightarrow \dfrac{r-1}{r+6}r^2-(r-1)=0 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow (r-1)\left(\dfrac{r^2}{r+6}-1\right)=0 \Rightarrow (r-1)\cdot\dfrac{r^2-r-6}{r+6}=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (r-1)(r^2-r-6)=0\ \ \ \ \ (3)$

$\it (3)\Rightarrow r-1=0 \Rightarrow r = 1\\ \\ (3) \Rightarrow r^2-r-6=0 \Rightarrow r^2-3r+2r-6=0 \Rightarrow r(r-3)+2(r-3)=0 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow (r-3)(r+2)=0 \Rightarrow r = -2\ \ \ sau\ \ \ r=3$

Așadar, rădăcina comună ar putea fi r = -2,  r = 1  sau  r = 3.

$\it r= -2 \stackrel{(1)}{\Longrightarrow} a=\dfrac{-2-1}{-2+6} =\dfrac{-3}{4} =-\dfrac{3}{4}\\ \\ \\ r= 1 \stackrel{(1)}{\Longrightarrow} a=\dfrac{1-1}{1+6} =\dfrac{0}{7} =0\\ \\ \\ r= 3 \stackrel{(1)}{\Longrightarrow} a=\dfrac{3-1}{3+6} =\dfrac{2}{9}$