Question

Avem trei vase cu apă. Jumătate din apa aflată în primul vas o distribuim în mod egal în celelalte două vase. Apoi, jumătate din apa ce se află acum în al doilea vas o vărsăm, în mod egal, în primul și respectiv al treilea vas. În sfârșit, turnăm jumătate din apa ce se află în al treilea vas, în mod egal, în primul și respectiv al doilea vas. După aceste operații constatăm că în primul vas se află 60 de litri de apă, în al doilea 36 de litri de apă, iar în al treilea 40 de litri de apă. Ce cantitate de apă era, inițial, în fiecare vas, știind că orice operației este posibilă? ​

Answer 1

Notam cantitățile de apă din cele trei vase cu a, b si c.

După prima operatie, în cele trei vase vom avea:

- in primul: a - a/2 = a/2

- in al doilea: b + a/4

- in al treilea: c + a/4

După a doua operatie, în cele trei vase vom avea:

- in primul: a/2 + (b + a/4)/4 = a/2 + b/4 + a/16 = 8a/16 + a/16 + b/4 = 9a/16 + b/4

- in al doilea: (b + a/4)/2 = a/8 + b/2

- in al treilea: c + a/4 + (b + a/4)/4 = c + a/4 + b/4 + a/16 = 4a/16 + a/16 + b/4 + c = 5a/16 + b/4 + c

Dupa a treia operatie, în cele trei vase vom avea:

- in primul: 9a/16 + b/4 + (5a/16 + b/4 + c)/4 = 9a/16 + b/4 + 5a/64 + b/16 + c/4 = 36a/64 + 5a/64 + 4b/16 + b/16 + c/4 = 41a/64 + 5b/16 + c/4

- in al doilea: a/8 + b/2 + (5a/16 + b/4 + c)/4 = a/8 + b/2 + 5a/64 + b/16 + c/4 = 8a/64 + 5a/64 + 8b/16 + b/16 + c/4 = 13a/64 + 9b/16 + c/4

- in al treilea: (5a/16 + b/4 + c)/2 = 5a/32 + b/8 + c/2

Atunci:

41a/64 + 5b/16 + c/4 = 60

13a/64 + 9b/16 + c/4 = 36

5a/32 + b/8 + c/2 = 40

Aducem la acelasi numitor:

(41a + 20b + 16c)/64 = 60

(13a + 36b + 16c)/64 = 36

(5a + 4b + 16c)/32 = 40

De aici obtinem:

41a + 20b + 16c = 3840

13a + 36b + 16c = 2304

5a + 4b + 16c = 1280

Din ultima relatie => 16c = 1280 - 5a - 4b, si înlocuim 16c in primele doua relatii:

41a + 20b + 1280 - 5a - 4b = 3840

13a + 36b + 1280 - 5a - 4b = 2304

adica:

36a + 16b = 3840 - 1280 = 2560

8a + 32b = 2304 - 1280 = 1024

4(9a + 4b) = 2560

8(a + 4b) = 1024

9a + 4b = 640

a + 4b = 128 => 4b = 128 - a

Înlocuim in prima relatie:

9a + 128 - a = 640

8a = 640 - 128 = 512

a = 512 : 8

a = 64 L apa

b = (128-a)/4 = (128-64)/4 = 64/4

b = 16 L apa

c = (1280 - 5a - 4b)/16 = (1280 - 5×64 - 4×16)/16 = (1280 - 320 - 64)/16 = 896/16

c = 56 l apa

R: in primul vas = 64 l apa

In al doilea vas = 16 l apa

In al treilea vas: 56 L apa