Question

b) Determinați An B.
3.4 (5p). Pe laturile dreptunghiului ABCD din figura alăturată se consideră punctele E = (DC)
și F € (AB), astfel încât triunghiul AAEF este echilateral. Se ştie că AE = 12 cm, FB = 6 cm
și P este punctul de intersecție al bisectoarei unghiului ZEAF cu latura (EF).
a) Demonstrați că perimetrul trapezului EFBC este egal cu 6(5+√3) cm.
b) Demonstrați că punctele A, P, C sunt coliniare.
D
E
P
F
C
B

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ABCD dreptunghi, AB ≡ DC, AD ≡ BC

ΔAEF triunghi echilateral, AE = 12 cm

=> AE ≡ AF ≡ EF = 12 cm

AB = AF + FB = 12 + 6 = 18 => AB = 18 cm

a) ducem înălțimea EM ⊥ AB

$EM = \frac{AE \sqrt{3} }{2} = \frac{12 \sqrt{3} }{2} = > EM = 6 \sqrt{3} \: cm$

în triunghiul echilateral înălțimea este mediană:

$=> AM = \frac{AF}{2} = \frac{12}{2} = 6 = > AM = 6 \: cm$

ADEM este dreptunghi => DE ≡ AM => DE = 6 cm

$AD ≡ EM => AD = BC = 6 \sqrt{3} \: cm$

EC = DC - DE = 18 - 6 = 12 => EC = 12 cm

Perimetrul EFBC = EF + FB + BC + EC = 12 + 6 + 6√3 + 12 = 30 + 6√3 = 6(5 + √3) cm

b) AP este bisectoare

=> ∢PAF = ½•∢EAF = ½•60° = 30° => ∢PAF = 30°

T.P. în ΔABC:

AC² = AB² + BC² = 18² + (6√3)² = 324 + 108 = 432

=> AC = 12√3 cm

$BC = \frac{AC}{2}$

BC este cateta opusă unghiului de 30°

=> ∢BAC = 30° => ∢BAC ≡ ∢PAF => P ∈ AC

=> punctele A, P, C sunt coliniare

q.e.d.