Question

B)Determinati cel mai mic numar natural care impartit pe rand la numerele 12 si 15 da resturile 5 si respectiv 8.
C)Determinati cel mai mic numar natural care impartit la numarul 24 da restul 10 , si impartit la 36 da restul 22.
16.) a)Numerele 127, 53,76 impartite la acelasi numar natural nenul n dau resturile 7,5 respectiv 4. Determinati  numarul natural n. 
b)Numerele 47,53,64 impartite la acelasi numar natural nenul n dau resturile 2,3 respectiv 4 . Determinati numarul naturan n.
c)Numerele 66,142,113 impartite la acelasi numar natural nenul n dau resturile 6, 7 si respectiv 8.Determinati numarul natural n. 

Answer 1

      b)  n=12x+5 și n=15x+8;    
Adunam 7 in ambii membrii ai relației(observam ca 12-5=15-8=7)     n+7=12x+12=12(x+1)⇒ n+7=multiplu al lui 12     n+7+15x+15+15(x+1)=>n+7+multiplu al lui 15  
 n+7=c.m.m.m.c (12,15)=2²·3·5=4·3·5=60   
12=2²·3   
15=3·5  
n+7=60⇒n=60-7=53 
c)  n=24x+10 și n=36x+22 
Adunam 14 in ambii membrii ai relatiei(observam ca 24-5=36-22=14)  n+14=24x+24=24(x+1)=>n+14=multiplu al lui 24 
n+14=36x+36=36(x+1)=> n+14=multiplu al lui 36 
n+14=c.m.m.m.c (24;36)= 2³·3²=8·9=72 
24=2³·3 
36=2²·3²
n+14=72⇒n=72-14=58  
16. a)   127:n=$c_{1}$,r 7
53:n=$c_{2}$,r 5
76:n=$c_{3}$,r4
n=(127-7):c  n=120:c
n=(53-5):c   n=48:c
n=(76-4):c   n=72:c  
n=c.m.m.d.c(120,48,72)=2³·3=8·3=24
120=2³·3·5
48=$2^{4}$·3
72=2³·3² 
In concluzie n=24
b)  47:n=$c_{1}$,r 2
53:n=$c_{2}$,r 3
64:n=$c_{3}$,r 4
n=(47-2):$c_{1}$⇒  n=45:$c_{1}$
n=(53-3):$c_{2}$ ⇒  n=50:$c_{2}$
n=(64-4):$c_{2}$ ⇒ n=60:$c_{3}$

n=c.m.m.d.c(47,50,60)=5
45=3²·5
50=2·5²
60=2²·3·5
In cocluzie n=5

c) 66:n=$c_{1}$,r6
142:n=$c_{2}$,r7
113:n=$c_{3}$,r8
n=(66-6):$c_{1}$⇒ n=60:$c_{1}$
n=(142-7):$c_{2}$⇒n=135:$c_{2}$
n=(113-8):$c_{3}$⇒n=105:$c_{3}$

n=c.m.m.d.c(60,135,105)=5·3=15
60=2²·3·5
135=5·3³
105=5·3·7

In concluzie n=15