Question

bac 2016 ajutatima rog frumos

Answer 1

Notam cu O proiectia varfului piramidei V pe planul ABC.
Stiind ca este o piramida, inseamna ca VA=VB=VC si VO este inaltimea piramidei, inseamna ca se formeaza triunghiurile dreptunghice VOA,VOB,VOC care au cate o cateta si ipotenuza egale. Asta inseamna ca cele trei triunghiuri sunt congruente, deci si ultimele catete sunt congruente: OA,OB si OC. Asta inseamna ca O este centrul cercului circumscris ABC, iar OA este raza cercului circumscris
stim ca raza cercului circumscris are formula
$OA=R=\frac{AB*AC*BC}{4S}$
stim ca ABC este isoscel, daca ducem inaltimea corespunzatoare lui B pe latura AC, si o notam cu D, atunci BD este atat inaltimea triunghiului, cat si mediana acestuia, deci D este la mijlocul laturii AC,
$AD=CD=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6$ ABD triunghi dreptunghic in unghiul D, catetele BD si AD, ipotenuza AB, putem afla inaltimea BD din teorema lui Pitagora
$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}\Rightarrow BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
Putem afla aria triunghiului acum baza*inaltimea pe 2
$S=\frac{BD*AC}{2}=\frac{8*12}{2}=48$
Atunci putem afla raza R
$R=OA=\frac{AB*AC*BC}{4*S}=\frac{10*10*12}{4*48}=\frac{25}{4}$
VOA este triunghi dreptunghic cu unul dintre unghiuri de 45 grade. Inseamna ca este triunghi dreptunghic isoscel cu catetele congruente VO=OA.
Atunci din teorema lui Pitagora stim ca
$VA=OA\sqrt{2}=\frac{25\sqrt{2}}{4}$