Question

Buna, ajutati-ma la punctul b si d. Multumesc anticipat!

Answer 1

Fie functia f(x)=√(2x-1)+√(2-x)

√(2x-1) crescatoare, :[1/2,∞)
√(2-x) descrescatoare: (-∞;2]Cond de Existenta, x∈[1/2;2]

cum √2x-1 = √2 √(x-1/√2)creste mai repede decat  scade √(-x+2)
functia va fi descrescatoare, deci injectiva deci va lua orice valoare din codomeniu [√3/2 ;√3] o singura data
Se observa ca x=1 verifica ecuatia
Si alta solutie nu exista, pt ca functia e injectiva

Obs demonstratia este usor fortata, riguros (dar laborios) ar fi fost cu prima derivata

Alfel , calcul cinstit corect
ridicam la patrat in stanga si in dreapta
2x-1+2-x+2√(2x-1)(2-x)=4
x+1=2√(-2x²+5x-2)
 mai ridicam oi data la patrat

x²+2x+1=4(-2x²+5x-2)
x²+2x+1+8x²-20x+8=0
9x²-18x+9=0
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
x=1∈[1/2;2]


d)
Conditii de existenta x≥1
analog  aici se poate observa ca functia
f(x) =√(2x+5) + √x-1
este compusa din 2 functiistrict crescatoare, deci si f(x ) este strict crescatoare ,  deci va lua valoarea 8 o singura data
se observa ca x=10 , in care 10>1,  verifica ecuatia
 √(2*10+5)+√10-1=√25 +√9=5+3=8
Cum f(x) este strict crescatoare, NU exista alta solutie inafar de x=10