Question

Buna, am fost la un concurs de matematica, si vreau sa stiu rezolvarea corecta a problemelor de pe foaia de concurs.

Answer 1

a= (2-1)/2 × (3-1)/3 × . . . × (2012-1)/2012 = 1/2 × 2/3 × 3/4 × . . . × 2011/2012 = 1/2012 
b = (1-2)/2 × (1-3)/3 × . . . × (1-213)/2013 = (-1/2) × (-2/3) × (-3/4) × . . . × (-2012/2013) = -1/2013                          
(1/a + 1/b) la puterea 2015 = (2012 - 2013) la puterea 2015 = (-1) la puterea 2015 = - 1 .
2.             
√4,1616 = 2,04   
(2√2)² = 2²×2 = 8   
 (2,4 - 2,04) / 0,2 = (8+4) / {5÷ √[1/(9+x)/9]}                             
0,36 / 0.2 = 12 / [5 ÷ √9/(9+x)]                  
18/10 = 12 / 5×√(9+x)/9                            
9/5 = 36/ 5×√(9+x)                 
 √(9+x) = (5×36)/(9×5)           
 √(9+x) = 4    ridicam la patrat ()²          
9+x=16        
 x = 16 - 9       
x = 7  

3. a) Fiindca AB║DC si AC secanta ⇒ ∡DCA ≡∡CAB (alterne interne)   
dar ΔABC - isoscel cu (AB≡BC)⇒ ∡CAB≡∡BCA         
din cele doua relatii rezulta  ∡DCA≡∡BCA  ⇒ AC bisectoarea ∡BCD;         
b) Notam cu x = m(∡DCA) = m(∡BCA) = m(∡CAB)
Fiindca AD≡BC ⇒ ABCD trapez isoscel ⇒ m(∡ADC) = m(∡BCD) = 2x  si m∡DAB) = m(∡CBA) = 90°+x 
atunci suma unghiurilor trapezului este 2x+2x+x+90°+x+90°=360°  
6x=360°-180°            6x = 180°     x=180°/6     x=30°          
⇒ m(∡ADC) = m(∡BCD) = 2x = 2×30°=60°           
m∡DAB) = m(∡CBA) = 90°+x = 90°+30=120°                          
c) fiindca AD║BE si AB║DE ⇒ ABED - paralelogram dar AD≡AB ⇒ ABED - romb              
d)  in ΔADC (m(∡DAC) = 90°) ⇒ cos D = AD/DC ⇒ DC = AD/cosD = 10/(1/2) = 20 cm  Perimetrul = AB+BC+DC+AD=10+10+20+10=50 cm                   
in ΔADC (m(∡DAC) = 90°) ⇒ sin D = AC/DC ⇒ AC = DC×sinD = 20×√3/2 = 10√3 cm          
construim AM⊥DC ⇒ in ΔADC   AM = (AD×AC)/DC = (10×10√3)/20 = 5√3 cm                       
Aria trapezului = (AB+DC)×AM / 2 = (10+20)×5√3 / 2 = 75√3 cm²   

4.      se observa ca AB > AC . Unim E cu F si obtinem trapezul dreptunghic EFAC (FE - linie mijlocie in ΔABC ⇒ FE = AC/2 si FE║AC ⇒ FE⊥AB).       
Dar observam ca diagonalele trapezului obtinut sunt perpendiculare ⇒ trapezul EFAC este ortodiagonal, dar "un trapez dreptunghic este ortodiagonal dacă și numai dacă înălțimea este media geometrică a bazelor" ⇒ h = √(B×b) = √(1×0,5) = √0,5 = √1/2 = √2 / 2 ⇒ FA = √2 / 2 cm ⇒ AB = 2×√2 /2 = √2 cm   
in ΔABC (m(∡a)=90°) TP⇒ BC²=AB²+AC² = √2²+1² = 2+1=3 ⇒ BC=√3 
Perimetrul = AB+AC+BC=√2+1+√3 cm       
Aria = AB×AC/2= √2×1/2 = √2/2 cm²