Question

Bună !

Arătați că expresia:
20^n - 8^n - 5^n + 2^n este divizibilă cu 9.
​

Answer 1

Formulă:

$(a+b)^n = M_a+b^n$

$M_a$ înseamnă multiplu de a.

Rezolvare:

$20^n-8^n-5^n+2^n =\\ \\ = 5^n\cdot 4^n-4^n\cdot 2^n-5^n+2^n = \\ \\ =4^n\cdot (5^n-2^n)-(5^n-2^n) = \\ \\ = (5^n-2^n)(4^n-1) =\\ \\ = \Big[(3+2)^n-2^n\Big]\Big[(3+1)^n-1\Big] = \\ \\ = \big(M_3+2^n-2^n\big)\big(M_3+1^n-1\big) = \\ \\ = (M_3+0)(M_3+0) = \\ \\ = M_3\cdot M_3 = \\ \\ = M_9$

⇒ Expresia $20^n-8^n-5^n+2^n$ este divizibilă cu 9.

Answer 2

Răspuns:

ASA ESTE!!!

Explicație pas cu pas:

4^n*5^n-2^n*4^n+2^n-5^n=4^n(5^n-2^n)-(5^n-2^n)=(4^n-1) (5^n-2^n)

4^n-1 = 4^n-1^n=(4-1)* (4^(n-1) +4^(n-2) +...+4+1) divizibil cu 3

5^n-2^n=(5-2) (5^(n-1) +5^(n-2)*2+...5*2^(n-2)+2^(n-1)) divizibil cu 3

deci produsul divizibil cu 3*3=9

as elegant as that!!