Question

Buna dimineata!Am o tema cu probleme la matematica,iar una dintre ele imi da batai de cap.Aceasta e problema:,,Aratati ca daca nr x+y,y+z,z+x sunt direct proportionale cu nr a+1,a+2+a+3,a=nr natural atunci x/y+z/x<=14/3"
Ajutati-ma va rog frumos!

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

Vom aplica metoda "k" :

{x+y,y+z,z+x} direct proportional {a+1,a+2,a+3} => x+y/a+1= y+z / a+2 = x+z/a+3 = k ,de unde x+y= k(a+1) , y+z=k(a+2) ; x+z=k(a+3)

De aici gasim ca : x=k(a+2) /2

y= ka/2

z=k(a+4) / 2 (daca nu stii cum se obtin valorile acestea nu ezita sa intrebi) .

Avem de demonstrat ca x/y+ z/x ≤ 14/3

Eliminam numitorii : 3x²+3yz ≤ 14yx

Inlocuim : 3 (k(a+2)/2 )² +3 ka/2 · k(a+4)/2 ≤ 14 ka/2 · k(a+2)/2

3 k² (a+2)² / 4 +3k² a(a+4)/4 ≤ 14 k² a(a+2) /4

Putem imparti relatia cu k²/4 :

3 (a+2)² +3 a(a+4) ≤ 14a(a+2)

3a²+12a+12+3a²+12a ≤ 14a²+28a

6a²+24a+12≤ 14a²+28a

Trecem totul intr-o parte :

8a²+4a-12 ≥ 0

8a²+4a -8-4 ≥ 0

8(a²-1)+4(a-1) ≥ 0

8(a-1)(a+1)+4(a-1) ≥ 0

4(a-1) [2(a+1)+1] ≥ 0

4(a-1)(2a+3) ≥ 0

Relatia e adevarata , avand in vedere ca a este un numar natural nenul .