Question

Bună!Mă poate ajuta cineva cu acest tip de exercițiu, poate și cu mici explicații?Dau admiterea la informatică, dar nefiind venit de pe un liceu mate-info ci unul de științe, nu am atins unele subiecte sau tipuri de exerciții.Marea majoritate a subiectelor, prin ceva bătaie de cap, am ajuns să le stăpânesc, dar cele de acest tip îmi cam pun capac..nu am nici barem, nici nimic.Nu prea îmi dau seama ce trebuie să fac​

Answer 1

Răspuns:

i)

$\sigma^2=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{pmatrix}$

$\sigma^3=\sigma^2\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{pmatrix}=e$

Atunci

$\sigma^n=\begin{cases}e, & n=3k\\\sigma, & n=3k+1\\\sigma^2, & n=3k+2\end{cases}$

deci mulțimea puterilor lui $\sigma$ este

$\{e,\sigma,\sigma^2\}$

ii)

$x\sigma=\sigma x\Leftrightarrow x(\sigma(k))=\sigma(x(k)), \ \forall k\in\{1,2,3\}$

Dacă $x(1)=1\Rightarrow\sigma(x(1))=\sigma(1)=3$

$x(\sigma(1))=x(3)\Rightarrow x(3)=3$

$\sigma(x(3))=\sigma(3)=2, \ x(\sigma(3))=x(2)\Rightarrow x(2)=2\Rightarrow x=e$

Dacă $x(1)=2\Rightarrow\sigma(x(1))=\sigma(2)=1, \ x(\sigma(1))=x(3)\Rightarrow x(3)=1$

$\sigma(x(3))=\sigma(1)=3, \ x(\sigma(3))=x(2)\Rightarrow x(2)=3$

Deci $x=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{pmatrix}=\sigma^2$

Dacă $x(1)=3\Rightarrow \sigma(x(1))=\sigma(3)=1, \ x(\sigma(1))=x(3)\Rightarrow x(3)=1$

$\sigma(x(3))=\sigma(1)=3, \ x(\sigma(3))=x(2)\Rightarrow x(2)=3$, ceea ce nu se poate.

Deci $x\in\{e, \sigma^2\}$

iii)

Dacă $x(1)=1\Rightarrow x(x(1))=\sigma(1)\Rightarrow x(1)=3$, contradicție.

Dacă

$x(1)=2\Rightarrow x(x(1))=\sigma(1)\Rightarrow x(2)=3\Rightarrow x(x(2))=\sigma(2)\Rightarrow x(3)=1\Rightarrow\\\Rightarrow x=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{pmatrix}$

Dacă $x(1)=3\Rightarrow x(x(1))=\sigma(1)\Rightarrow x(3)=3$, contradicție.

Deci

$x=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{pmatrix}$

Explicație pas cu pas: