Question

Buna seara ma puteti ajuta cu un ex la matematica? Suna cam asa!Aratati ca punctul de intersectie al diagonalelor si mijloacele bazelor unui trapez sunt colineare! Notatiile le-am facut singur la fel si figura!

Answer 1

Fie trapezul ABCD cu baza mare AB si punctul de intersectie a diagonalelor O.
Notez cu M mijlocul lui (AB), si cu N intersectia dreptelor OM cu DC. Trebuie aratat ca N este mijlocul lui (CD).
Din T.F.A. avem:
1) ΔOAM  asemenea cu ΔOCN, de unde avem OA/OC=AM/CN
2) ΔAOB asemenea cu ΔCOD, de unde  avem  OA/OC=AB/DC

Din cele doua egalitati de rapoarte rezulta ca AM/CN=AB/DC=2AM/DC, de unde luand primul si ultimul raport, avem AM/CN=2AM/DC, deci DC=2CN, adica N este mijlocul lui (DC).

Answer 2

Fie trapezul ABCD, cu AB si CD paralele. Fie O intersectia diagonalelor AC si BD.
Avem <ODC ≡ <OBA (alterne interne)
<OCD ≡ <OAB (alterne interne)
<AOB ≡ <DOC
Rezulta ΔAOB ≈ ΔCOD rezulta AB/DC = AO/OC = BO/OD

Fie M mijlocul lui AB si N mijlocul lui CD
Comparam ΔCON si ΔAOM
AO/OC = AB/DC = (AB/2)/(DC/2)=AM/CN
Avem si <OCN ≡ <OAM
Din cele doua de mai sus rezulta (lul) ΔAMO ≈ ΔNOC rezulta <CON ≡ <MOA
<AOD + <DON + <NOC = 180
Dar <CON = <MOA
Din cele doua de mai sus rezulta <MOA + <AOD + <DON = 180, rezulta M, O, N colineare - Q.E.D.