Question

Determinati ultima cifra a nr.:
b=7+7^2+7^3+...+7^43

Answer 1

Daca alea sunt puteri nu poti da factor comun pe 7 pentru ca o sa ramana 7(1+7+7^2 ...)  si nu ceea ce ai scris. Acea suma este a unei progresii geometrice si trebuie sa aplici formula ca sa calculezi suma.
 b1 = 7 primul termen
q=7  ratia 

S= b1* (q^n-1)/(q-1)
n - numarul de termeni si n=43

Atunci S= 7 * (7^43-1)/(7-1)  nu prea poti aproxima ultima cifra.si trebuie sa gandesti logic. Hai sa luam ultima cifrade la fiecare

7=7 , 7^2=9 7^3=3 7^4=1 7^5=7 7^6=9 etc (scriu numai ultima cifra) ultimele cifre le aflii prin inmultirea cu 7 a ultimei cifre a numarului precedent. Observam ca se repeta la un interval de timp. O sa avem o repetare din 4 in 4 a ultimelor cifre, deci o suma de genul
 (7+9+3+1)+ (7+9+3+1) + ...

Avem 43 de termeni deci suma se repeta de 10 ori ( 40/4) si inca 3 termeni = 7+9+3

Deci o suma S= (7+9+3+1)*10 + 7+9+3 = 20*40+19 => deci ultima cifra este 9 :)