Question

Bună ziua! Ma puteti ajuta cu un exercitiu?

Determinati ultima cifra a numerelor:
A.a=2+2la puterea 2+2la puterea 3+...+2la puterea 45
B.b=7+7la puterea 2+7la puterea 3+7la puterea 43
C.3la puterea 0+3la puterea 1+3la puterea 3+....3la puterea 42
D. 8+8la puterea 2+8la puterea 3+8la puterea 88
Multumesc anticipat.

Answer 1

       
$Notatie: \;\;\;\;U() \;\; este \;functia \;\;"Ultima\;\;cifra" \\ a) \\U(2^1)=2 \\ U(2^2)=4 \\ U(2^3)=8\\ U(2^4)=6 \\ \text{Se repeta din 4 in 4} \\ 45 : 4 = 11\;\;\;rest\;\;\boxed{1} \\ \text{Ultima cifra este data de suma ultimelor cifre din 11 grupe + 2} \\ =\ \textgreater \ U(2^1+2^2+2^3+\;...\;+2^{45})= \\ U(11(2+4+8+6)+2) = U(11\cdot 20+2)=U(222) = \boxed{2}$


$b) \\U(7^1)=7 \\ U(7^2)=9 \\ U(7^3)=3\\ U(7^4)=1 \\ \text{Se repeta din 4 in 4} \\ 43 : 4 = 10\;\;\;rest\;\;\boxed{3} \\ \text{Ultima cifra este data de suma ultimelor cifre din 10 grupe + 7+9+3} \\ =\ \textgreater \ U(7^1+7^2+7^3+\;...\;+7^{43})= \\ U(10(7+9+3+1)+7+9+3) = U(10\cdot 20+19)=U(219) = \boxed{9}$


$c) \\ U(3^0)=1 \\U(3^1)=3 \\ U(3^2)=9 \\ U(3^3)=7 \\ \text{Se repeta din 4 in 4}\\Avem \;42+1=43\;termeni,\;deoarece\;incepe\;cu\;zero. \\ 43 : 4 = 10\;\;\;rest\;\;\boxed{3} \\ \text{Ultima cifra este data de suma ultimelor cifre din 10 grupe +1+3+9} \\ =\ \textgreater \ U(3^0+3^1+3^2+3^3+\;...\;+3^{442})= \\ U(10(1+3+9+7)+1+3+9) = U(10\cdot 20+13)=U(213) = \boxed{3}$


$d) \\U(8^1)=8 \\ U(8^2)=4 \\ U(8^3)=2\\ U(8^4)=6 \\ \text{Se repeta din 4 in 4} \\ 88 : 4 = 22\;\;\;rest\;\;\boxed{0} \\ \text{Ultima cifra este data de suma ultimelor cifre din 22 grupe} \\ =\ \textgreater \ U(8^1+82^2+8^3+\;...\;+8^{88})= \\ U(22(8+4+2+6)) = U(22\cdot 20)=U(440) = \boxed{0}$