Question

Buna ziua!

O problema de clasa 8-a.Ne-a dat-o tema profesorul.Nu ii dau de cap...:(

In reperul cartezian xOy se considera punctele A(0,1), B(-1,2) si C(2,a), unde a este numar real. Aflati a astfel incat aria triunghiului ABC sa fie egala cu 2.

Multumesc !

Answer 1

Răspuns:

a = 3 sau a = -5

Explicație pas cu pas:

A(0,1), B(-1,2) si C(2,a)

$Aria_{(ABC)} = \frac{h \times AB}{2}$

$h = \frac{2 \times Aria_{(ABC)}}{AB} = \frac{2 \times 2}{AB} \\ = > h = \frac{4}{AB}$

unde h este înălțimea triunghiului ABC = distanța de la punctul C la dreapta AB

→ lungimea segmentului AB:

$AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} } \\ = \sqrt{ {( - 1 - 0)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

→ ecuația dreptei AB:

$A(x_{A}; y_{A}), B(x_{B}; y_{B})$

$\frac{y - y_{B}}{y_{A} - y_{B}} = \frac{x - x_{B}}{x_{A} - x_{B}}$

$\frac{y - 2}{1 - 2} = \frac{x - ( - 1)}{0 - ( - 1)} < = > \frac{y - 2}{ - 1} = \frac{x + 1}{1} \\ y - 2 = - x - 1 = > x + y - 1 = 0$

→ distanța de la un punct la o dreaptă:

$d_{1}: ax + by + c = 0$

$h = \frac{ |ax_{C} + by_{C} + c| }{ \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}} \\ = \frac{ |1\times 2 + 1 \times a + c( - 1)| }{ \sqrt{{1}^{2} + {1}^{2}}} = \frac{ |2 + a - 1| }{ \sqrt{2} } \\ = > h = \frac{ |1 + a| }{ \sqrt{2} }$

→

$h = \frac{4}{AB} < = > \frac{ |1 + a| }{ \sqrt{2} } = \frac{4}{ \sqrt{2} } \\ = > |1 + a| = 4$

$1 + a = 4 = > a = 3$

$1 + a = - 4 = > a = -5$