Question

Calculati |4x+2|+|3x-2|=5.

Answer 1

CAZ1: 
4x+2>= 0 => x>=-2/4
3x-2>=0 =>x>= 2/3
4x+2+3x-2=5 => 7x=5 =>x=5/7
CAZ2:
4x+2<0 => x<-2/4
3x-2<0 =>x< 2/3
-(4x+2) -(3x-2)=5 =>-4x-2-3x+2=5 =>-7x=5 =>x= -5/7
CAZ3:
4x+2>= 0 => x>=-2/4
3x-2<0 =>x< 2/3
4x+2-(3x-2)=5 => 4x+2-3x+2=5 => x=1
CAZ4:
4x+2<0 => x<-2/4
3x-2>=0 =>x>= 2/3
-(4x+2)+3x-2=5 => -4x-2+3x-2=5 =>-x=9 => x=-9

Answer 2

se studiaza ecuatia pe domenii ale lui x:
pentru 4x+2≥0, x≥-1/2, |4x+2|=4x+2
pentru 4x+2<0, x<-1/2, |4x+2|=-4x-2

pentru 3x-2≥0, x≥2/3, |3x-2|= 3x-2
pentru 3x-2<0, x<2/3, |3x-2|=2-3x

studiem pe domeniul x≥2/3
4x+2+3x-2=5
x=5/7

pe domeniul -1/2≤x<2/3
4x+2+2-3x=5
x=1

pentru x≤-1/2
-4x-2+2-3x=5
x= -5/7

prin urmare avem 3 solutii pe cele 3 domenii

pentru x<-1/2 ⇒ x=-5/7
pentru -1/2≤x<2/3 ⇒ x=1
pentru x≥2/3 ⇒ x=5/7

ca regula generala:
se stabilesc domeniile lui x pentru care expresiile din modul sunt pozitive sau negative, iar forma ecuatiei este functie de semnele expresiilor din module.
schematic arata cam asa:

x  -∞-----------------------------|----------|-----------|-----------------------------------+∞
                                       -1/2          0          2/3
|4x+2|..............-4x-2..........|.................................4x+2.............................
|3x-2|..........................2-3x...........................|.......................3x-2..............