Question

Calculati:
a)2^2013/3-2^2012/3-........-2/3=
b)3^2013/5-2*3^2012/5-........-2*3/5=

Answer 1

[tex]A=\frac{2^{2013}}{3}-\frac{2^{2012}}{3}-...-\frac{2^{1}}{3}=\frac{2^{2013}}{3}-\frac{1}{3}(2+2^2+...+2^{2012})\\ Notam\ cu\ S\ suma\ 2+2^2+...+2^{2012}\\ S=2+2^2+...+2^{2012}\\ 2S=2^{2}+2^{3}+...+2^{2013}\\ 2S-S=2^{2013}-2\Rightarrow S=2^{2013}-2\\ A=\frac{2^{2013}}{3}-\frac{1}{3}S=\frac{2^{2013}}{3}-\frac{1}{3}(2^{2013}-2)=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]A=\frac{3^{2013}}{5}-\frac{3^{2012}}{5}-...-\frac{3^{1}}{5}=\frac{3^{2013}}{5}-\frac{1}{5}(3+3^2+...+3^{2012})\\ Notam\ cu\ S\ suma\ 3+3^2+...+3^{2012}\\ S=3+3^2+...+3^{2012}\\ 3S=3^{2}+3^{3}+...+3^{2013}\\ 3S-S=2S=3^{2013}-3\Rightarrow S=\frac{ 3^{2013}-3}{2}\\ A=\frac{3^{2013}}{5}-\frac{1}{5}S=\frac{3^{2013}}{5}-\frac{1}{10}(3^{2013}-3)=\frac{2\cdot3^{2013}+3}{10}[/tex]