Question

Calculați A^n, n>=1, unde A=(010/001/100) aparține lui M3(Q).

V-am scria liniile între /

Answer 1

Răspuns:

Aia e o matrice de permutari. Ideea e sa calculezi $A^2=(001/100/010)$ si $A^3=(100/010/001)=I_3$. Daca $n\geq 1$, din teorema impartirii cu rest la 3, $n=3k+r$ cu r=restul=0,1 sau 2. Atunci $A^n=A^{3k+r}=A^{3k}A^r = (A^3)^kA^r=I_3^k A^r=I_3A^r=A^r$.

Si sunt 3 cazuri posibile: Daca r=0, atunci $A^n=I_3$. Daca r=1, atunci $A^n=A$. Daca r=2, atunci $A^n=A^2$.