Question

Calculati cate zerouri are numarul [1*2*3*....*100] / [1*2*3*....*50]. Aflati numerele a, b, c, stiind ca a*b = 143, b*c= 195 si a*c = 165.

Answer 1

1)
(1*2*3*......*100)/(1*2*3*.....*50)=51*52*53*......*100
Noi trebuie sa afla zerourile.
Numerele sunt:
51*52*53*.....*100
Numarul de "0"-uri la sfarsitul unui produs este egal numarul de "10"-uri care au participat la produs.
Fiecare "10" se obtine prin inmultirea dintre un "2" si un "5".
Cum de la 51 la 100 sunt mai multi de "2" decat de "5" rezulta ca e suficient sa numaram cinciurii si vom afla cate zerouri are produsul la coada.
55=11*5...un 5
60=12*5...un 5
65=13*5.......un 5
70=14*5......un 5
75=5*5*3.......doi de 5
80=16*5......un 5
85=17*5.....un 5
90=18*5.......un 5
95=19*5...un 5
100=5*5*4.....doi de 5
Total 12 de 5.
Inseamna ca produsul se termina in 12 zerouri.
2)
a*b=143
b*c=195
a*c=165
(a*b)*(b*c)*(a*c)=143*195*165
a^2*b^2*c^2=4601025
√(a^2*b^2*c^2)=√4601025
a*b*c=2145
a=(a*b*c)/(b*c)=2145/195=11
b=(a*b*c)/(a*c)=2145/165=13
c=(a*b*c)/(a*b)=2145/143=15