Calculati determinantul
| a1 a2 a3 |
| a2 a3 a4 |
| a3 a4 a5 |
daca a1, a2 ,a3,a4,a5 formeaza:
a) progresie aritmetica
b) progresie geometrică.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
folosim proprietăți ale determinantilor:dacă la o linie/coloana se aduna/scad elementele altor linii(pot fi inmultite și cu scalari!), valoarea determinantului nu se modifica
-scad linia 2 din linia3
-scad linia 1 din linia 2
|a1 a2 a3|
|a2-a1 a3-a2 a4-a3|
|a3-a2 a4-a3 a5-a4|
la progresia aritmetica ak-a(k-1)=ratia=r
determinantul va fi
|a1 a2 a3|
| r r r |
|r r r|
scad din linia 3 pe 2
|a1 a2 a3|
|r r r|
|0 0 0|
determinantul cu o linie formata din elemente nule, este nul.
b. ak=q×a(k-1)
determinantul va deveni
a1 qa1 q^2 a1
a2 qa2 q^2 a2
a3 qa3 q^2 a3
|1 q q^2|
a1 ×a2×a3 | 1 q q^2 | =
| 1 q q^2|
scad din liniile 2 și 3 linia 1
(a1a2a3) |1 q q^2|
|0 0 0
0 9 0
care este 0.
Puteam sa tragem concluzia mai devreme ca e nul, deoarece teoria spune ca un det cu 2 linii egale sau o linie este combinație algebrice liniara a celorlalte linii, va fi nul.Eu am demonstrat și de ce!