Question

Calculați probabilitatea ca alegând un Nr din Mulțimea { C baza 4 la puterea 2; C baza 4 la puterea 3 ; C baza 5 la putere 2} acesta sa fie divizibil cu 3

Answer 1

$C_4^2 = \dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = \dfrac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{2\cdot 2} = 3\cdot 2\,\, \vdots\,\, 3 \\ \\ C_4^3 = \dfrac{4!}{3!\cdot 1!} = \dfrac{3!\cdot 4}{3!} = 4\not \vdots\,\,3 \\ \\ C_5^2 = \dfrac{5!}{2!\cdot 3!} = \dfrac{3!\cdot 4\cdot 5}{2\cdot 3!} = 10\not \vdots\,\, 3\\ \\\\ \Rightarrow \boxed{P = \dfrac{1}{3}}$

Answer 2

$\boxed{C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\\ \\ \\ \\ C^2_4=\frac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=\frac{2!\cdot 3 \cdot 4}{2! \cdot 2!}=\frac{3\cdot 4}{2}=3\cdot 2, \ divizibil \ cu \ 3\\ \\ C^3_4=\frac{4!}{3!\cdot (4-3)!}=\frac{3!\cdot 4}{3! \cdot 1}=4, \ nu \ e \ divizibil \ cu \ 3$

$C^2_5=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{3!\cdot 4 \cdot 5}{2! \cdot 3!}=\frac{20}{2}=10, \ nu \ e \ divizibil \ cu \ 3\\ \\ \\ \\ \boxed{Probabilitatea=\frac{nr. \ cazuri \ favorabile}{nr. \ cazuri \ posibile}}\\ \\ \\ \\ Cazuri \ favorabile: \ 1\\ \\ Cazuri \ posibile: \ 3\\ \\ \Rightarrow Probabilitatea=\frac{1}{3}$