Question

Calculati suma pentru n=4.Evident ajungand la o formula!
S=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+n*1.

Answer 1

S = n + 2(n-1) + 3( n-2) +...+n(n-(n-1))

S = n + 2n - 2 + 3n - 6 + 4n - 12 + ... + n^2 - n(n-1)

S = n ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+n) - 2 [ 1 + 3 + 6 + 10 + ... + n(n-1)/2 ]

In partea stanga e simplu. Suma Gauss. Suma =  n * ( n +1 ) / 2

Ne uitam la sirul din dreapta. Aici intervine partea interesanta :

1 + 3 + 6 + 10 + ... + n(n-1)/2

Ti se pare ceva special la el ?

Ei bine, sirul acesta e un sir format din suma sumele primelor numere naturale ( nu stiu cat de bine m-am exprimat ).

Primul element : 1

Al doilea element :  1 + 2 = 3

Al treilea element : 1 + 2 + 3 = 6

Al patrulea element : 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Al cincilea element : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

.............................................................................

Ultimul element ( in cazul nostru ): 1 + 2 + 3 + ... + n = n-1 ( n-1 + 1) / 2 = n ( n - 1 ) / 2

Aceste numere se numesc "numere triunghi" sau ceva de genul. Se pare ca suma acestor numere triungi se poate calcula cu formula :

$\frac{m(m+1)(m+2) }{6}$

unde m = al m-lea termen.

Care este al m-lea termen in cazul nostru ? Raspuns : n .

Deci suma "numerelor triunghi" din dreapta e egala cu n(n+1)(n+2) / 6

Expresia noastra devine :

= n * ( n +1 ) / 2 - n(n+1)(n+2) / 3

De aici sper ca te descurci cu 4.

Mult noroc !