Question

Calculati suma resturilor posibile ale unui nr. natural la 9.

Aratati ca nr. 9•(5+10+15+...+200):41 e patrat perfect

Answer 1

O impartire arata asa: 
D:I=C +R, unde
R<I
Deci, noi avem
D:9=C+R
R < 9
Dar R (restul trebuie sa fie un numar natural  =>
R={1,2,3,4,5,6,7,8}, iar suma va fi deci 
S=1+2+3+4+5+6+7+8
formula generala pentru 1+2+3+...+n este n(n+1)/2. Aplicata, vine asa:
S=(1+8)*8/2
S=9*4
S=36
===========================================
 9•(5+10+15+...+200):41 = patrat perfect
Facem mai intai paranteza
5+10+15+.....+200=
5(1+2+3+....+40) -> aplicam formula de mai sus
40*41/2=20*41=820

toata paranteza va veni deci 5*820

vi avem 9*5*820:41=36900:41=900, si logic ca 900 e patrat perfect, pt ca radical din 900 e 30.

Answer 2

Resturile la impartirea cu 9 pot fi :0,1,2,3,4,5,6,7,8 ( restul nu poate fi mai mare decat impartitorul)
De exemplu 25:9 =2 rest 7
Suma acestor resturi =0+1+2+3+4+5+6+7+8+9= 45

9•(5+10+15+...+200):41=
=9•5•(1+2+3+...40):41=
=9•5•(40*41:2):41=
=9•5•(40*41:2):41=
=9•5•20*41:41=
=9•5•20=
=900=30² =patrat perfect

Obs: 1+2+3+...40 este o suma Gauss, unde
Suma=1+2+3+...+n=n*(n+1):2