Question

Calculați:
$\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\frac{\sqrt{2}+2}{1+\sqrt{2}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Answer 1

Răspuns:

$\sqrt 2$

Explicație pas cu pas:

$\displaystyle 1+\frac{\sqrt 2 + 2}{1 + \sqrt 2} = 1 + \sqrt 2 \frac{1 + \sqrt 2}{1 + \sqrt 2} = 1 + \sqrt 2\\ \\ \implies \text{Toata fractia se reduce la } \frac{\sqrt 2 + 2}{1 + \sqrt 2} =\sqrt 2 \frac{1+\sqrt 2}{1+\sqrt 2} = \boxed{\sqrt 2}$

Answer 2

Răspuns:

$\sqrt{2}$

Explicație pas cu pas:

Voi considera problema ca cum ar fi fost o fracție continuă:

Să se considere șirul dat prin: $\begin{cases} x_0=\sqrt{2}\\ x_{n+1}=\frac{\sqrt{2}+2}{1+x_n},\quad n\in\mathbb{N}\end{cases}$. Deci expresia va fi egală cu $\lim_{n\to\infty}{x_n}=\alpha$ dacă, limita există și e finită. Voi demonstra existența și unicitatea, apoi voi calcula:

Fie funcția $f\colon\left[1,\sqrt{2}+1\right]\to\left[1,\sqrt{2}+1\right],\quad f(x)=\dfrac{\sqrt{2}+2}{1+x}.$ Deci:

$x\in\left[1,\sqrt{2}+1\right]\implies \frac{\sqrt{2}+2}{1+1+\sqrt{2}}=1\le f(x)\le \frac{\sqrt{2}+2}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\le \sqrt{2}+1$

Ceia ce arată că are sens să vorbim despre șirul:

$\begin{cases} x_0=\sqrt{2}\\ x_{n+1}=f(x_n),\quad n\in\mathbb{N}\end{cases}$

Să remarcăm că: $\left|f'(x)\right|=\dfrac{\sqrt{2}+2}{(1+x)^2}\le\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}<1,\quad \forall x\in\left(1,\sqrt{2}+1\right)$

Adică, $f$ este un "contraction mapping". Fiindcă $\left[1,\sqrt{2}+1\right]$ este un spațiu complet, prin teorema punctului fix a lui Banach, $f$ admite un unic punct fix care este $\lim_{n\to\infty}{x_n}=\alpha\in\left[1,\sqrt{2}+1\right].$

De aici vom avea:

$f(\alpha)=\alpha\iff \dfrac{\sqrt{2}+2}{1+\alpha}=\alpha\iff \alpha^2+\alpha-(\sqrt{2}+2)=0\implies \alpha=\dfrac{-1+\sqrt{1+4\sqrt{2}+8}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{1+2\cdot 2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^2}}{2}=\dfrac{-1+1+2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$