Matematică, întrebare adresată de 19999991, 8 ani în urmă

Calculați :

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{ {e}^{x} - x - 1 }{ {e}^{x} - \frac{1}{2} {x}^{2} - x - 1}$

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de halogenhalogen

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Anexe:

Rayzen: salut MindShift :)

halogenhalogen: exponentiala creste mai repede decat orice polinom

Rayzen: Asa e, corect.

Rayzen: Scoaterea factorului comun fortat se face doar cand e cazul infinit pe infinit?

halogenhalogen: oricand se poate daca aduce o simplificare la rezolvare

Rayzen: Stiu, dar ai spus ca ne aflam in cazul infinit/infinit ca si cand din asta rezulta ca putem simplifica cu e^x.

Rayzen: in raspuns.

halogenhalogen: am spus deoarece stiam cat e limita de sus si cat e cea de jos, dar trebuia demonstrat ca e infinit /infinit, dar de simplificat pot oricand

halogenhalogen: puteam sa nu stiu ca e infinit pe infinit, dar vedeam ca nu stiu ce e sus si ce e jos si dupa simplificare gaseam rezultatul

Rayzen: Adevarat.

Răspuns de MindShift

$\lim _{x\rightarrow \infty \:}\:\frac{\:e^x\:-\:x\:-\:1\:}{\:e^x\:\:-\:\:\frac{1}{2}\:\:x^2\:\:-\:x\:-\:1}\: = \frac{\frac{e^x}{e^x}-\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x}}{\frac{e^x}{e^x}-\frac{\frac{1}{2}x^2}{e^x}-\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x}} => \lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{1-\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x}}{1-\frac{x^2}{2e^x}-\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x}}\right)$

$\boxed{REAMINTIRE} \lim _{x\to a}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{\lim _{x\to a}f\left(x\right)}{\lim _{x\to a}g\left(x\right)},\:\quad \lim _{x\to a}g\left(x\right)\ne 0$

$=>\frac{\lim _{x\to \infty \:}\left(1-\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x}\right)}{\lim _{x\to \infty \:}\left(1-\frac{x^2}{2e^x}-\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x}\right)} = \frac{1}{1} = \boxed{1}$