Question

Calculați valoarea sumei s= g(3) + g(4) + g(5) +...+g(102) 15. a) Desenați o piramida triunghiulară regulată.

Piramida triunghiulară ABCD are toate muchiile de lungime a cm, unde a este un număr real pozitiv, Punctul M este mijlocul laturii AC

b) Arătați că dreapta AC este perpendiculară pe planul (MBD). c) Calculați aria triunghiului MBD.

d) Calculați distanta de la punctul M la planul (BCD).

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ABCD este tetraedru regulat => toate fețele sunt triunghiuri echilaterale

b)

M este mijlocul laturii AC =>

DM este mediană și înălțime în ΔADC echilateral => DM ⊥ AC

BM este mediană și înălțime în ΔABC echilateral => BM ⊥ AC

DM, BM ⊂ (MBD) => AC ⊥ (MBD)

c)

BM≡DM => ΔBMD este isoscel

MN ⊥ BD, N∈BD => MN este înălțime și mediană

$DN = \dfrac{a}{2} \ ; \ DM = \dfrac{a \sqrt{3} }{2}$

$MN^{2} = DM^{2} - DN^{2} = \dfrac{3 {a}^{2} }{4} - \dfrac{{a}^{2} }{4} = \dfrac{2 {a}^{2} }{4}$

$MN = \dfrac{a \sqrt{2} }{2}$

$\mathcal{A}_{\triangle MBD} = \dfrac{MN \cdot BD}{2} = \dfrac{\dfrac{a \sqrt{2} }{2} \cdot a}{2} = \bf \dfrac{ {a}^{2} \sqrt{2} }{4} \ {cm}^{2}$

d)

AO⊥(BCD) => AO⊥CN, O∈CN

$AO = \dfrac{a \sqrt{6} }{3}$

MP⊥(BCD) => MP⊥CN, P∈CN

MP = d(M,(BCD))

ΔMPC ~ ΔAOC

$\dfrac{MP}{AO} = \dfrac{MC}{AC} = \dfrac{1}{2} \iff MP = \dfrac{AO}{2}$

$\implies \bf MP = \dfrac{a \sqrt{6} }{6} \ {cm}^{3}$