Question

Calculati valorile rationale ale lui x si y pentru care:

3(x+√3)+1=2y(√3+1)-x√3

Answer 1

3(x+√3) + 1 = 2y(√3+1) - x√3  ⇒ 3x +3√3+1= 2y√3 + 2y - x√3 ⇒

⇒ 3x +1 - 2y =  2y√3 - x√3 -3√3 ⇒ 3x - 2y +1 = √3( - x + 2y - 3)    (*)

În relația (*), membrul stâng este rațional, iar membrul drept este irațional.
 
Egalitatea are loc numai dacă este de forma 0 = 0 , adică :

3x - 2y +1 = 0 ⇒  3x - 2y = -1
- x + 2y - 3 = 0 ⇒ -x  + 2y  = 3

Adunăm algebric ultimele două ecuații și rezultă: 2x = 2 ⇒ x = 1.

Substituim x = 1 în ultima ecuație și rezultă:

-1 +2y = 3 ⇒ 2y = 3+1 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2.

Deci, ecuația din enunț are soluția :  x = 1,  y = 2.

Answer 2

3x+1+3√3=2y+(2y-x)√3

teorema sau asa ceva din liceu
 a+b√3=c+d√3⇔a=c  ŞI b=d,  unde a,b,c,d∈Q

atunci avem sistemul
3x +1=2y
2y-x=3

cu substitutia x=2y-3
 prima ecuatie devine
3(2y-3)+1=2y
6y-9+1=2y
4y=8
y=2
si x=2*2-3=1



x=1
y=2

verificare
3(1+√3)+1=4(√3+1)-√3
3√3+4=4+3√3 adevarat, exe.este bine rezolvat