Question

#Capacitate #EvaluareNationala

subiectul 3

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB = 8radical 3 cm și AD = 8cm . Pe segmentul BD se consideră punctele E și F astfel încât m(∢DAE) = m(∢EAF ) = m(∢FAB) .

a) Arătați că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 16( rad 3 +1)cm .
b) Demonstrați că punctele A, F și C sunt coliniare.
c) Știind că FM || AB , unde M apartine ( AD) și N este punctul de intersecție a dreptelor FM și AE , demonstrați că dreptele DN și AC sunt perpendiculare.

Answer 1

a)P=AB+BC+DC+AD=8+8+8√3+8√3=16+16√3=16(√3+1) cm
b)triunghiul ADB; m(∡A)=90° si cu teorema lui pitagora se calculeaza BD. AD²+AB²=BD²=>BD=16 cm
triughiul ADB; sin ∡B=AD/DB=1/2=>m(∡DBA)=30°=>m(∡ADB)=60°
m(∢DAE) = m(∢EAF ) = m(∢FAB)=m(∡DAB)/3=30°
=>m(∡DAF)=60°
    m(∡ADF)=60°     =>triunghiul DAF=echilateral=>m(∡DFA)=60°
m(∡AFB)=180°-30°-30°=120°=m(DFC)(unghiuri opuse la varf)
m(∡AFC)=m(AFD)+m(∡DFC)=60°+120°=180°=> A, F, C-coliniare
c)DF=FB=DB/2=8 cm
FM║AB=>(teorema lui Thales)DM/MA=DF/FB=>DM/MA=8/8=1=>
DM=MA=DA/2=4 cm=>MF=linie mijlocie=>MF║AB
AB⊥AD
MF║AB     =>MF⊥AD=>MF=inaltime in triunghiul ADF
AE-bisectoare
triunghiul ADF-echilateral    =>AE=inaltime in tr ADF
MF∩AE={N}=>N=ortocentrul triunghiului 
construim DP⊥AF                                     =>N∈DP=>DN⊥AF
                                                                                    AF∈AC   =>DN⊥AC

Answer 2

a) 
P ABCD = 2( l + L) = 2( AB + AD) = 2 ( 8 + 8 $\sqrt{3}$ ) = 2*8 ($\sqrt{3}$ + 1) = 16 ( $\sqrt{3}$ + 1 ) (cm) 

b) m ( DAE) = m( EAF) = m (FAB) = m(BAD)/3= 90/3 = 30 (de grade) 

in tr. ABD, m(A)= 90 de grade => tg B= AD/AB = 8/ 8$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$ /3 

tg 30 = $\sqrt{3}$ /3 => m(B) = 30 de grade. 

in tr. ABF; m(BAF) = m(ABF) = 30 => tr. ABF este isoscel  cu baza AB => AF = FB  

fie FP perpendicular pe AB, P apartine AB => AP= PB = 4$\sqrt{3}$ 

tr. BFP asemenea cu tr. BDA ( conform T. fundamentale a asemanarii) => PB/AB=BF/BD=PF/AD=1/2 
PF/BD=1/2 => BD=2FB => DF=FB 

tr. ABD congruent cu tr. DCB ( DC= AB, BC=AD, m(C)=m(A) ) 

AF= FB = DF
ABD tr. dreptunghic

=> AF mediana 

FB=DF ( in tr. CDB) => si FC= DF=FB 

AF=FC, F apartine AC => cele 3 puncte sunt coliniare

c) 
DF=AF, m(FAD)= 60 de grade => tr. AFD este echilateral 
FM ll AB
AB perpendicular pe AD

=> FM perpendicular pe AD 

m(FAE)=m(EAD) => AE este bisectoare in tr. ech. ADF => AE este si inaltime si mediana
AE intersectat cu FM = N => N este punctul de greutate al triunghiului => DN perpendicular pe AF 
 
c apartine (AF => DN este perpendicular pe AC