Question

Care este cardinalul multimii: { (x,y) apartin N x N :(x-radical din 13)(x+ radical din 13)=4y^2}

Answer 1

(x-√13)(x+√13)

dupa formula (a-b)(a+b)=a^2+b^2

rezulta
(x-√13)(x+√13)=x^2-13

deci
x^2-13=4y^2
x^2>13 deoarece un patrat perfect de numar natural este mereu pozitiv)

4y^2 este patratul perfect al numarului 2y
deoarece mereu intre 2 patrate perfecte consecutive este diferenta de un numar impar crescator (9-4=5 16-9=7 25-16=9....)
singura posibilitate este ca x si 2y sa fie numere consecutive, deoarece diferenta dintre patratele lor este 13

dupa modelul
9-4=5 16-9=7 25-16=9 36-25=11

vedem ca singurele patrate perfecte cu diferenta de 13 sunt 49 si 36

deci x^2=49 (deoarece este mai mare)
si 4y^2=36
y^2=36/4=9
y=3

x=7
y=3

Deci cardinalul multimii este 1 (o singura pereche de numere care indeplinesc conditia)