Question

Care este cel mai mic numar de 3 cifre care,la impartirea cu 11, da restul 7? Dar cel mai mare? Cate astfel de numere exista? Calculeaza suma lor.
Va rog ajutatima!! problema de clasa a V-a​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\overline {abc} = 11k + 7 \ , \ k \in \mathbb {N}$

$100 \leqslant \overline {abc} \leqslant 999 \iff 100 \leqslant 11k + 7 \leqslant 999 \\ 93 \leqslant 11k \leqslant 992 \iff \dfrac{93}{11} \leqslant k \leqslant \dfrac{992}{11} \\ 8\dfrac{5}{11} \leqslant k \leqslant 90\dfrac{2}{11} \implies 9 \leqslant k \leqslant 90$

cel mai mic număr:

$\overline {abc} = 11 \cdot 9 + 7 = \bf 106$

cel mai mare număr:

$\overline {abc} = 11 \cdot 90 + 7 = \bf 997$

există: 90-9+1 = 82 astfel de numere

[tex]S = 106 + (106 + 11) + (106 + 2 \cdot 11) + ... + (106 + 81 \cdot 11) = \underbrace{106 + 106 + ... + 106}_{82} + (11 + 2 \cdot 11 + ... + 81 \cdot 11) = 106 \cdot 82 + 11 \cdot (1 + 2 + ... + 81) = 8692 + 11 \cdot \dfrac{81 \cdot (81 + 1)}{2} = 8692 + 11 \cdot \dfrac{81 \cdot 82}{2} = 8692 + 36531 = \bf 45223[/tex]

sau:

$S = \dfrac{(106 + 997) \cdot 82}{2} = \dfrac{1103 \cdot 82}{2} = \dfrac{90446}{2} = 45223$