Question

Care este numărul soluțiilor reale ale ecuației : 16^x=3^x + 4^x ?

Answer 1

Salut,

Împărțim toți membrii ecuației cu 16ˣ:

$\left(\dfrac{3}{16}\right)^x+\left(\dfrac{4}{16}\right)^x=1,\ sau\\\\\left(\dfrac{3}{16}\right)^x+\left(\dfrac{1}{4}\right)^x=1.$

În membrul stâng avem 2 funcții exponențiale cu baza subunitară, fiecare funcție este descrescătoare, deci și suma lor este tot descrescătoare.

Asta înseamnă că funcția care formează membrul stâng este monoton descrescătoare (valorile ei scad incontinuu).

În schimb, membrul drept este egal cu 1, adică avem o funcție constantă.

Din această mică analiză, graficul funcției descrescătoare definită de membrul stâng va intersecta graficul funcției constante din membrul drept într-un singur punct, deci ecuația din enunț are o singură soluție reală.

După cum ai observat, nu ni se cere neapărat să rezolvăm ecuația (de altfel, această ecuație nu are o soluție ușor de aflat cu metodele algebrei clasice), ci ni se cere să o analizăm pentru a afla câte soluții reale are.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.