Question

Care este valoarea lui n astfel incat produsul tuturor numerelor naturale nenule mai mici sau egale cu 25 sa fie divizibil cu 10^n​

Answer 1

1*2*3*....*25 = 25!

Trebuie sa aflam in care 0-uri se termina 25!. Numarul de zerouri este minimul dintre puterea la care apare 5 si puterea la care apare 2 in descompunerea in factori primi a produsului. Deoarece este clar ca avem mai multe puteri ale lui 2 decat puteri ale lui 5, trebuie sa determinam doar puterea la care apare 5.

Numerele care furnizeaza puteri ale lui 5 sunt multiplii acestuia :

5=5 -> 1 termen

10=2*5 -> 1 termen

15=3*5 -> 1 termen

20=4*5 -> 1 termen

25=5*5 -> 2 termeni

Deci 5 apare la puterea 6 in descompunere in factori primi a lui 25!, ceea ce inseamna ca 25! are la coada 6 zerouri. Deci 25! este divizibil cu 10, 100, 1000, 10000, 100000, 100000.

Altfel spus, $n \in \{1,2,3,4,5,6\}$