Question

care sunt formulele pentru media aritmetica,ponderata,geometrica,armonica,patratica si inegalitatea mediilor?
(Cu tot cu exemple,va rog)

Answer 1

Explicație pas cu pas:

1) MEDIA ARITMETICA:

Daca dorim sa calculam media aritmetica a 2 numerele pozitive reale, atunci vom utiliza formula:

$M_{aritmetica}=M_a=\frac{a+b}{2}$, unde a si b sunt cele doua numere.

De exemplu, daca avem numerele 14 si 28, media aritmetica va fi:

$M_a=\frac{14+28}{2}=\frac{42}{2}=21$.

In general, daca dorim sa calculam media aritmetica a n numere pozitive reale, atunci vom utiliza formula:

$M_{aritmetica}=M_a=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$, unde $a_1, a_2,...,a_n$ sunt cele n numere si n este numarul numerelor.

De exemplu, daca avem numerele 15, 25 si 35, media aritmetica va fi:

$M_a=\frac{15+25+35}{3}=\frac{75}{3}=25$.

2) MEDIA GEOMETRICA:

Daca dorim sa calculam media geometrica a 2 numerele pozitive reale, atunci vom utiliza formula:

$M_{geometrica}=M_g=\sqrt{a*b}$, unde a si b sunt cele doua numere.

De exemplu, daca avem numerele 4 si 9, media geometrica va fi:

$M_g=\sqrt{4*9}=\sqrt{36}=6$.

In general, daca dorim sa calculam media geometrica a n numere pozitive reale, atunci vom utiliza formula:

$M_{geometrica}=M_g=\sqrt[n]{a_1*a_2*...*a_n}$, unde $a_1, a_2,...,a_n$ sunt cele n numere si n este numarul numerelor.

De exemplu, daca avem numerele 2, 5, 8 si 9, media geometrica va fi:

$M_g=\sqrt[4]{2*5*8*9}= \sqrt[4]{720}= \sqrt[4]{2^4*45}=2\sqrt[4]{45}$

3) MEDIA ARMONICA

Daca dorim sa calculam media armonica a 2 numerele pozitive reale, atunci vom utiliza formula:

$M_{armonica}=M_h=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2*a*b}{a+b}$, unde a si b sunt cele doua numere.

De exemplu, daca avem numerele 15 si 19, media armonica va fi:

$M_h=\frac{2*15*19}{15+19}=\frac{570}{34}=\frac{285}{17}$.

In general, daca dorim sa calculam media armonica a n numere pozitive reale, atunci vom utiliza formula:

$M_{armonica}=M_h=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$, unde $a_1, a_2,...,a_n$ sunt cele n numere si n este numarul numerelor.

De exemplu, daca avem numerele 2, 4 si 8, media armonica va fi:

$M_h=\frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=\frac{3}{0.5+0.25+0.125}=\frac{3}{0.875}=\frac{3000}{875}=\frac{2625}{875}+\frac{375}{875}=3+\frac{15}{35}=3+\frac{3}{7}$

4) MEDIA PATRATICA

Daca dorim sa calculam media patratica a 2 numerele pozitive reale, atunci vom utiliza formula:

$M_{patratica}=M_p=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$, unde a si b sunt cele doua numere.

De exemplu, daca avem numerele 3 si 4, media patratica va fi:

$M_p=\sqrt{\frac{3^2+4^2}{2}}=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt2}=\frac{5}{\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{2}$

In general, daca dorim sa calculam media patratica a n numere pozitive reale, atunci vom utiliza formula:

$M_{patratica}=M_p=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}$, unde $a_1, a_2,...,a_n$ sunt cele n numere si n este numarul numerelor.

De exemplu, daca avem numerele 6, 8 si 10, media patratica va fi:

$M_p=\sqrt{\frac{6^2+8^2+10^2}{3}}=\sqrt{\frac{200}{3}}=\frac{\sqrt{200}}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{600}}{3}=\frac{10\sqrt6}{3}$

5) MEDIA PONDERATA

Daca dorim sa calculam media ponderata a n numere pozitive reale $a_1,a_2,...,a_n$ cu ponderile (in aceeasi ordine) $p_1,p_2,...,p_n$, atunci vom utiliza formula:

$M_{ponderata}=\frac{a_1*p_1+a_2*p_2+....+a_n*p_n}{p_1+p_2+...+p_n}$

De exemplu, daca avem numerele 8, 10 si 12 cu ponderile (in ordine) 3, 5 si 7, media ponderata va fi:

$M_{ponderata}=\frac{8*3+10*5+12*7}{3+5+7}=\frac{158}{15}=\frac{150}{15}+\frac{8}{15}=10+\frac{8}{15}$

6) INEGALITATEA MEDIILOR

Avem urmatoarea inegalitate:

$min(a_1,a_2...,a_n)\leq M_h\leq M_g\leq M_a\leq M_p\leq max(a_1,a_2...,a_n)$, unde $a_1, a_2,...,a_n$ sunt cele n numere si n este numarul numerelor.

De exemplu, daca avem numerele 4 si 16, vom avea:

$min(4,16)=4$

$M_h=\frac{2*4*16}{4+16}=\frac{128}{20}=\frac{120}{20}+\frac{8}{20}=6+\frac{2}{5}$

$M_g=\sqrt{4*16}=\sqrt{64}=8$

$M_a=\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10$

$M_p=\sqrt{\frac{4^2+{16}^2}{2}}=\sqrt{\frac{272}{2}}=\sqrt{136}$, care este mai mare decat 10 si mai mic decat 16

$max(4,16)=16$

Deci, este verificata inegalitatea.