Question

Câte numere naturale au patru cifre, sunt divizibile cu 15 și au 15 divizori

Answer 1

Răspuns: 2 numere de patru cifre sunt divizibile cu 15 și au 15 divizori

Explicație pas cu pas:

Teorie:

Orice număr compus se poate scrie ca un produs de numere prime        

Fie x = un număr întreg ⇒ descompunerea în factori primi a lui x e de forma:

$\bf x=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot p_3^{k_3}\cdot ...\cdot p_n^{k_n}$ ; unde k₁, k₂ .. kₙ → exponenții

Numărul de divizori a numărului x este:

$\red{\boxed{\bf Nr_{divizorilor}=(k_1+1)\cdot(k_2+1)\cdot....\cdot(k_n+1)}}$

__________________________________                        

Notăm cu $\bf \overline{abcd}$ - numerele de patru cifre

Dar numărul abcd are 15 divizori.

Ne uitam la formula pentru aflarea numărului de divizori a unui număr și încercăm să îl scriem pe 15 ca un produs

15 = 3 · 5 sau 15 = 5 · 3.

Astfel rezultataul unei paranteze trebuie să fie 3, iar cealaltă paranteză 5

$\bf Nr_{divizorilor}=(2+1)\cdot(4+1)$

           sau

$\bf Nr_{divizorilor}=(4+1)\cdot(2+1)$

Vom observa că numărul $\bf \overline{abcd}$ se scrie ca un produs de două numere prime cu exponenți pari ⇒ $\bf \overline{abcd}$ = pătrat perfect

$\green{\bf \overline{abcd} = m^2\cdot n^4}~~~\it{sau} ~~~\bf \green{\overline{abcd} = m^4\cdot n^2}$

m ; n → numere prime

Sunt două numere de patru cifre ce sunt divizibile cu 15 și au 15 divizori

______________________________

Problema NU îți cere să afli care sunt numerele, ci îți cere să afli câte numere sunt.

Criteriul de divizibilitate cu 5 "Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 5 sau 0" ⇒ n = 5

Criteriul de divizibilitate cu 3 "Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului respectiv se împarte la 3" ⇒ m = 3

$\bf \overline{abcd} = m^2\cdot n^4=3^2\cdot 5^4=\red{\underline{5625}}$

$\bf \overline{abcd} = m^4\cdot n^2=3^4\cdot 5^2=\red{\underline{2025}}$

Verificăm:

(2 + 1) · (4 + 1) = 3 · 5 = 15 divizori are numărul 5625

5625 : 15 = 375

(4 + 1) · (2 + 1) = 5 · 3 = 15 divizori are numărul 2025

2025 : 15 = 135

Răspuns: 2 numere de patru cifre sunt divizibile cu 15 și au 15 divizori