Question

Câte numere naturale au patru cifre, sunt divizibile cu 15 și au 15 divizori

Answer 1

Răspuns: 2 numere de patru cifre sunt divizibile cu 15 și au 15 divizori

Explicație pas cu pas:

Teorie:

Orice număr compus se poate scrie ca un produs de numere prime        

Fie x = un număr întreg ⇒ descompunerea în factori primi a lui x e de forma:

$\bf x=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot p_3^{k_3}\cdot ...\cdot p_n^{k_n}$ ; unde k₁, k₂ .. kₙ → exponenții

Numărul de divizori a numărului x este:

$\red{\boxed{\bf Nr_{divizorilor}=(k_1+1)\cdot(k_2+1)\cdot....\cdot(k_n+1)}}$

__________________________________                        

Notăm cu $\bf \overline{abcd}$ - numerele de patru cifre

Dar numărul abcd are 15 divizori.

Ne uitam la formula pentru aflarea numărului de divizori a unui număr și încercăm să îl scriem pe 15 ca un produs

15 = 3 · 5 sau 15 = 5 · 3.

Astfel rezultataul unei paranteze trebuie să fie 3, iar cealaltă paranteză 5

$\bf Nr_{divizorilor}=(2+1)\cdot(4+1)$

           sau

$\bf Nr_{divizorilor}=(4+1)\cdot(2+1)$

Vom observa că numărul $\bf \overline{abcd}$ se scrie ca un produs de două numere prime cu exponenți pari ⇒ $\bf \overline{abcd}$ = pătrat perfect

$\green{\bf \overline{abcd} = m^2\cdot n^4}~~~\it{sau} ~~~\bf \green{\overline{abcd} = m^4\cdot n^2}$

m ; n → numere prime

Sunt două numere de patru cifre ce sunt divizibile cu 15 și au 15 divizori

______________________________

Bonus:

Problema NU îți cere să afli care sunt numerele, ci îți cere să afli câte numere sunt.

Ca să aflăm care sunt cele două numere ne folosim de criteriul de divizibilitate cu 5 și cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 5 "Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 5 sau 0" ⇒ n = 5

Criteriul de divizibilitate cu 3 "Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului respectiv se împarte la 3" ⇒ m = 3

$\bf \overline{abcd} = m^2\cdot n^4=3^2\cdot 5^4=\red{\underline{5625}}$

$\bf \overline{abcd} = m^4\cdot n^2=3^4\cdot 5^2=\red{\underline{2025}}$

Verificăm:

(2 + 1) · (4 + 1) = 3 · 5 = 15 divizori are numărul 5625

5625 : 15 = 375

(4 + 1) · (2 + 1) = 5 · 3 = 15 divizori are numărul 2025

2025 : 15 = 135

Răspuns: 2 numere de patru cifre sunt divizibile cu 15 și au 15 divizori

==pav38==

Sper să fie de folos răspunsul meu chiar dacă vine cu 7 zile întârziere față de când ai postat exercițiul.  

Baftă multă !