Question

Cati termini rationali are dezvoltarea (∛2+√2/2)^26 ?

Answer 1

Hello, pentru a rezolva problema data, incepem prin a cerceta formula termenului general: T(n + 1) = $C^{k} _{n}$ * $a^{n - k}$ * $b^{k}$. Acum, pe noi ne intereseaza ca termenii sa fie rationali, adica sa scapam de radicali, combinarile mereu o sa fie egale cu un numar intreg, deci rational, deci ne ramane sa cercetam produsul termenilor.

La noi, a = $\sqrt[3]{2}$ = [tex] 2^{ \frac{1}{3} } [/tex], iar b = $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ = [tex] 2^{- \frac{1}{2} } [/tex], inlocuim in formula termenului general: [tex] 2^{ \frac{1}{3} * (n - k)} * 2^{- \frac{1}{2} * k}[/tex] = [tex] 2^{ \frac{n}{3} - \frac{5*k}{6}} = 2^{ \frac{2*n - 5*k}{6}} [/tex], acum noi stim ca n = 26, inlocuim si obtinem: $2^{ \frac{52 - 5*k}{6}}$.

Acum, pentru ca termenul sa fie rational, exponentul acestuia trebuie sa fie un numar natural => [tex]\frac{52 - 5*k}{6} [/tex] ∈ N, deci 52 - 5*k este un multiplu al lui 6, deja aici ne ramane doar sa observam ce primim, pentru diverse valori a lui k.

k = 0 => 52 - 0 = 52, nu este multiplu al lui 6.
k = 1 => 52 - 5 = 47, nu este multiplu al lui 6.
k = 2 => 52 - 10 = 42, este multiplu al lui 6 => k = 2 satisface conditiile.
k = 3 => 52 - 15 = 37, nu este multiplu al lui 6.
k = 4 => 52 - 20 = 32, nu este multiplu al lui 6.
k = 5 => 52 - 25 = 27, nu este multiplu al lui 6.
Continuii pana la k = 10, deja observi ca asta e valoarea maxima a lui k, pentru care expresia e inca pozitiva e 10, daca k = 11 => 52 - 55 = - 3 < 0 => Valoarea maxima e 10, deja observi cite cazuri care satisfac conditiile ai si gata!