Question

cea mai mare valoare

Answer 1

Salut,

Problema face parte din culegerea de probleme pentru admiterea la Universitatea Politehnica din Timișoara, problema este AL 5. Scriu asta, pentru că tu nu ai scris asta în enunț, informația trebuie scrisă în acest fel, pentru a fi ușor găsită de toți cei care caută rezolvarea acestei probleme și a altor probleme din aceeași culegere.

(x + 2y)² ≥ nxy, sau x² + 4xy + 4y² ≥ nxy, sau x² + (4 -- n)yx + 4y² ≥ 0.

Considerăm pe x ca variabilă și pe y drept o valoare constantă. Funcția de gradul al II-lea în x are valori pozitive dacă coeficientul lui x² este mai mare decât 0 (adevărat, pentru că este egal cu 1) și Δₓ ≤ 0.

Δₓ = b² -- 4·a·c = [(4 -- n)y]² -- 4·1·4y² = (4 -- n)²·y² -- 16y² =

= (16 -- 8n + n²)y² -- 16y² = 16y² -- 8ny² + n²y² -- 16y² = (n² -- 8n)y² ≤ 0.

y² ≥ 0, pentru orice y real, deci condiția de pus este ca n² -- 8n ≤ 0.

n² -- 8n = 0, deci n₁ = 0 și n₂ = 8, coeficientul lui n² = 1 > 0, deci între rădăcinile 0 și 8 funcția f(n) = n² -- 8n are semn contrar semnului lui 1, adică semn negativ.

Deci n ∈ [0, +8], valoarea maximă este deci 8, adică n = 8.

Green eyes.

Answer 2

Notăm  x + 2y = t  ⇒ x = t - 2y

Inegalitatea din enunț se scrie :

t² ≥  n(t-2y)y ⇒ t² - nty +2nty² ≥ 0 pentru oricare t real ⇒ Δ ≤ 0 ⇒

⇒ n²y² -8ny² ≤ 0  ⇒n²y² ≤ 8ny² |:ny² ⇒ n ≤ 8 

Așadar,  cea mai mare valoare a lui n este  8.