Question

Cine imi da o idee pentru limita aceasta? $\lim_{n \to \infty} \frac{5^nn!}{2^nn^n}$

Answer 1

Notam an = (5^n*n!)/(2^n*n^n)

Vom folosi criteriul raportului pentru calculul limitei

an+1 / an = 5^(n+1)*(n+1)! / (2^(n+1)*(n+1)^(n+1))

Dupa simplificari obtinem an+1 / an = 5/2 * (n/(n+1))^n = 5/2 * 1/((n+1)/n)^n = 5/2 *    1/((1+1/n)^n) -> 5/2 * 1/e = 5/2e

Cum 5 < 2e ⇒ 5/2e < 1, adica lim(n->∞) an+1 / an < 1 ⇒ lim(n->∞) an = 0