Question

cine știe va rog mult,dau coroniță orice

Answer 1

f(x,y,z) =3*x^2+y^3+2*z^2-18*x-12*y-4*z+13

5) la derivate partiale, derivezi functia in raport cu x,y,z. 

d f/ dx =f$f'_{x} (x,y,z)$ '(x) =(3*x^2+y^3+2*z^2-18*x-12*y-4*z+13)' =
                    =3*2*x +   0  +   0    -18   -  0   - 0   + 0=
                    = 6*x-18
d f/ dy =$f'_{y}(x,y,z)$ =(3*x^2+y^3+2*z^2-18*x-12*y-4*z+13)' =
                     =   0     +3*y^2+0    -  0   -12   -   0+0=
                     =3*y^2-12
d f/ dz=$f'_{z} (x,y,z)$ =(3*x^2+y^3+2*z^2-18*x-12*y-4*z+13)' =
                     =  0      +   0+ 2*2*z-  0   -  0    -4  +  0 =
                    = 4*z -4
gradientul (triunghiul intors) = (df/dx , df/dy, df/dz)=
                                            =(6*x-18 ,3*y^2-12,4*z -4 )

6) la derivate partiale de ordin 2 (derivezi inca o data funcia in raport cu x,y,z)

de la punctul 5 ai :
d f/ dx=6*x-18
d f/dy=3*y^2-12
df /dz=4*z-4 

=> d^2 f/ d^2 x = (6*x-18)' =6
=> d^2 f/ d^2 y =(3*y^2-12)'=6*y
=> d^2 f/ d^2 x=(4*z-4 )' =4

hessiana este defapt(o matrice) derivata de ordin 2 a functiei in raport cu x,y,z astfel:
(d^2 f/ d^2 x  este de fapt d^2 f/ d x  d x )

$H= \left [ \begin{array}{ccc} {\frac{d^2 f }{ d x d x}} &{\frac{d^2 f }{ d x d y}}&{\frac{d^2 f }{ d x d z}}\\ \\{\frac{d^2 f }{ d y d x}}&{\frac{d^2 f }{ dy d y}}&{\frac{d^2 f }{ d y d z}}\\ \\ {\frac{d^2 f }{ d z d x} }&{\frac{d^2 f }{ d z d y}} & {\frac{d^2 f }{ d z d z}}\end{array}\right]$

stii deja de la 5 :
d f/ dx=6*x-18    
d f/dy=3*y^2-12
df /dz=4*z-4      

 $H= \left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&6*y&0\\0&0&4\end{array}\right]$

pentru punctele de extrem sa folosesc punctele 5) si 6)
urmezi 2 pasi:

1) se afla punctele stationare(=puncte critice).( egalezi derivatele partiale de gradul I cu 0 si rezolvi sistemul)
$\left \{ {f'_{x} {x,y,z}=0 ; f'_{y} {x,y,z}=0 ; f'_{z} {x,y,z}=0} ,$

de la 5 ai :
d f/ dx=6*x-18     =0  => x=3
d f/dy=3*y^2-12  =0   =>y^2=4 => y=+/- 2
df /dz=4*z-4        =0   =>z=1
deci ai 2 puncte stationare$M_{1}$(3,2,1) si $M_{2}$(3,-2,1)

apoi de la 6 stim hessiana:
$H= \left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&6*y&0\\0&0&4\end{array}\right]$

acum o calculam cu ajutorul punctelor critice(stationare)
$H(3,2,1)= \left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&6*2&0\\0&0&4\end{array}\right]$

minorul 1(se noteaza $delta_{1}$  )
$\left[\begin{array}{ccc}6&0\\0&6*2\end{array}\right] \ \textgreater \ 0$
 
si det H>0 => (3,2,1) este punct de minim local pt f

iar pt (3,-2,1) => minorul 1 <0 si det H<0 => $M_{2}$  nu este punct de extrem local