Question

Comparati nr.: n^2006 si n^2004+n^2005

Answer 1

Hai sa presupunem ca este mai mare, doar ca sa verificam apoi ce semn este
$n^{2006}\geq n^{2004}+n^{2005}$
Daca n este egal cu 0, atunci relatia este adevarata, avem caz de egalitate
$0=0+0$
Daca n e diferit de 0, putem imparti relatia prin puterea cea mai mica adica n la 2004
$\frac{n^{2006}}{n^{2004}}\geq \frac{n^{2004}}{n^{2004}}+\frac{n^{2005}}{n^{2004}}\Rightarrow n^{2}\geq n+1\Rightarrow n^{2}-n-1\geq 0\Rightarrow$
Coeficientul lui n la patrat este 1, deci stim ca este o functie convexa, cu un minimum, si valorile care vor fi negative sau sub axa Ox vor fi cele dintre radacini. Atunci avem
$\Delta=1-(-4)=1+4=5$
$x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=-0.61$
$x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1.61$
Deci cat timp n este intre [-0.61,1.61]/{0} atunci relatia este inversa.
Daca n este un numar intreg, atunci pentru orice numar intreg n, relatia urmatoare estee adevarata
$n^{2006}\geq n^{2004}+n^{2005}$
cu exceptia cazului n=1