Question

comparati nr. x=3⁵⁴²+3⁵⁴¹+3⁵⁴⁰ si y=5³⁶¹

Answer 1

ideea e ca scriem termenii din stanga ca:
$3^{2} * 3^{540} +3*3^{540}+3^{540}$
dupa care dau factor comun pe 3 la puterea 540
$3^{540} ( 9+3+1)$

rezulta
$3^{540} *13$

si acum, pentru a demonstra ca x e mai mare:
3^3 > 5^2
si impart fiecare termen si x, si y astfel incat sa fie numai 3^3 si 5^2
deci rezulta
$5*5^{360} si 13*3^{540}$

dupa aceea stiind ca (5^2)*(5^2)=4 adica puterile se aduna, impart pe 5^360 in 5^2 si o sa rezulte un produs de 180 de termeni 5^2 sau pe scurt
$5^{ 2^{180} }$

si lafel si pentru termenul 3^540, dar de aceasta data il impart intr-un produs de 180 termeni 3^3, sau pe scurt
$3^{ 3^{180} }$

si putem observa ca ambele numere obtinute sunt la puterea 180, dar stim ca 3^3>5^2 de aceea termenul cu 3 este mai mare
si comparam ce a ramas, adica un 5 si un 13, e clar ca 13 e mai mare

deci rezulta ca x e mai mare