Question

Consideram multimea tuturor nr nat.care impartite la 101 dau catul egal cu restul . Aratati ca dublul sumei elementelor acestei multimi se poate scrie ca produsul a trei numere naturale .

Answer 1

$Numerele~sunt~de~forma~101c+r,~unde~r=c,~deci~de \\ \\ forma~102r.~Mai~mult:~r\ \textless \ 101,~deci~r \in \{0,1,2,...,100 \}. \\ \\ S=102 \cdot 0 +102 \cdot 1 +102 \cdot 2 +...+ 102 \cdot 100= \\ \\=102 \cdot 1+102 \cdot 2+...+102 \cdot 100= \\ \\ =102(1+2+...+100)= \\ \\ =102 \cdot \frac{100 \cdot 101}{2}= \\ \\= 50 \cdot 101 \cdot 102.$

$Deci~suma~se~poate~scrie~ca~produs~de~trei~nr.~nat.~(probabil \\ \\ se ~specifica~ca~ele~sa~fie~distincte,~caci~altfel~am~fi~putut~ \\ \\ alege:~S=1 \cdot 1 \cdot S).$