Question

Cum arat ca functia f admite primitive pe multimea numerelor reale? Dar cum arat ca functia f este continua?

Answer 1

Există două condiţii pentru care o funcţie să admită primitive:

Condiţia 1: Dacă funcţia este continuă pe un anumit interval, atunci ea admite primitive pe intervalul respectiv.

Conditia 2: Fie o funcţie f:A->B. Dacă există o altă funcţie F, definită pe acelaşi interval, astfel încăt F'=f, atunci acea funcţie admite primitive pe intervalul respectiv.

'Continuitatea' se referă la faptul că graficul funcţiei poate fi trasat 'fără să ridicăm pixul de pe foaie' (mai băbeşte- este doar o singură linie, fără întreruperi). Ţi-am lăsat mai jos o poză cu graficul unei funcţii care NU este continuă, ca să faci diferenţa.

Orice funcţie elementară este continuă, iar funcţiile elementare sunt: modulul, radicalul, polinomiala, exponentiala, logaritimca, rationala, trigonometrice.

De exemplu:

$f:R->R; f_{(x)} = x^2+3x+4$

Dacă la bac te-ar pune să demonstrezi că funcţia de mai sus admite primitive, este suficient să spui că aceasta este o funcţie elementară => este continuă => admite primitive. 

Pot apărea, de asemenea, funcţii care au puncte de discontinuitate, de exemplu:

[tex]f:R->R f_{(x)} = \left[\begin{array}{ccc}2x-1, \ \ \ \ \ \ \ \ x<1 \\2x^2-6x+5, \ \ \ \ \ \ \ \ x>=1\end{array}\right] [/tex]

Pentru astfel de funcţii, trebuie să calculezi limitele laterale; dacă acestea au valori egale, atunci funcţia este continuă -> admite primitive pe acel interval.