Question

Cum se deriveaza u^v?
Spre rusinea mea nu mai stiu cum se deriveaza o functie ridicata la alta functie.

$(u(x)^{v(x)})'=?$

Stiu ca erau 2 algoritmi: ori sa logaritmez cu logaritm natural, ori sa le scriu folosind proprietatea $e^{lnf(x)}=f(x)$
Insa am cam uitat cum vine. Ma cam incurc in algoritm si vreau sa fiu sigur ca e bine.

Ca si exemplu am zis sa iau urmatoarea functie:

$f(x)=(3x^2+2lnx)^{5x+3lnx}$
E pusa la plesneala, doar ca suport ca sa imi amintesc. Si ca sa nu am probleme cu continuitate derivabilitate fractii logaritmi si asa mai departe ii dau domeniu de definitie (3,∞).

Iar acum intrebarea: $f'(x)=?$

Am gandit astfel:

$lnf(x)=ln(3x^2+2lnx)^{5x+3lnx} \\ lnf(x)=(5x+3lnx)ln(3x^2+2lnx)$
Si de aici derivez in ambele parti:

$\frac{f'(x)}{f(x)}=(5+ \frac{3}{x})ln(3x^2+2lnx)+ \frac{5x+3lnx}{3x^2+2lnx}*(6x+ \frac{2}{x}) \\ \frac{f'(x)}{f(x)}=(5+ \frac{3}{x})ln(3x^2+2lnx)+ \frac{30x^2+10+18xlnx+ \frac{6lnx}{x} }{3x^2+2lnx} \\ f'(x)=(3x^2+2lnx)^{5x+3lnx}(5+ \frac{3}{x})ln(3x^2+2lnx)+ \\ +(3x^2+2lnx)^{5x+3lnx} * \frac{30x^2+10+18xlnx+ \frac{6lnx}{x} }{3x^2+2lnx} \\ f'(x)=(3x^2+2lnx)^{5x+3lnx}(5+ \frac{3}{x})ln(3x^2+2lnx)+ \\ +(3x^2+2lnx)^{5x+3lnx-1} (30x^2+10+18xlnx+ \frac{6lnx}{x})$

Am facut bine? E buna derivata? Incognito, Geta, altii buni la mate...?

Answer 1

[tex]\displaystyle (f^g)'=(e^{lnf^g})'=e^{lnf^g}\cdot (lnf^g)'=\\ =f^g\cdot (g\cdot lnf)'=\\ =f^g\cdot (g'\cdot lnf+g\cdot \frac{1}{f} \cdot f')[/tex]

Answer 2

       v                   v -1                             v 
(  u      )  '  =  v · u          · u '             +  u   · v '  · ln  u 
                    ca o functie putere             +   ca o functie exponentiala 
                                         5x - 3lnx   - 1 
= ( 5x + 3lnx) · ( 3x² +2 ln x )                         ·( 3x² +2lnx ) '     + 
                          5x +3lnx     
+     ( 3x² +2 lnx )                    · ( 5x +3 ln x)'  · ln( 3x²+2lnx )