Cum se face exercițiul 15
Anexe:
albastruverde12:
Impartim a doua ecuatie la prima si obtinem z^4=1, care are radacinile -1,1,-i,i. Le verificam pe fiecare si constantam ca toate convin.
Se poate generaliza: Radacinile comune ale ecuatiilor z^a=1 si z^b=1 sunt radacinile ecuatiei z^d=1, unde d=(a,b).
Demonstratie: Din d=(a,b) rezulta ca exista u si v intregi astfel incat d=au+bv. Din z^a=1 rezulta z^(au)=1, iar din z^b=1 rezulta z^(bv)=1. Inmultindu-le, rezulta a^d=1.
Demonstratie: Din d=(a,b) rezulta ca exista u si v intregi astfel incat d=au+bv. Din z^a=1 rezulta z^(au)=1, iar din z^b=1 rezulta z^(bv)=1. Inmultindu-le, rezulta a^d=1.
Ramane sa verificam aceste radacini:
Din d=(a,b) rezulta ca exista m si n intregi prime intre ele a.i. a=md si b=nd.
Deci z^a=1 este echivalent cu (z^d)^m=1, iar z^b=1 este echivalent cu (z^d)^n=1, de unde rezulta concluzia.
Din d=(a,b) rezulta ca exista m si n intregi prime intre ele a.i. a=md si b=nd.
Deci z^a=1 este echivalent cu (z^d)^m=1, iar z^b=1 este echivalent cu (z^d)^n=1, de unde rezulta concluzia.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
3
z^8=1
radacinile de ordin 8 ale unitații alcatuiesc, in planul comp,lex, un octogon regulat cu un varf in (1;0) , altul in (-1;0) , altul in (0;i), altul in (0;-i) si raza cercului circumscris de 1; varfurile sunt decalate in planul complex cu 360/8=45 grade
z^12=1
radacinilede ordin12 ale unitaii alcatuiesc un dodecagon inscris intr-un cerc cu raza de1. si avand niste varfuri in (1;0);(0;1);(i;0) (-i:0) , toatecele 12 varfuri sunt decalate cu 360°/12=30°
daca suprapunem cele 2 poligoane observam ca varfurile comune sunt la 0°;90°;180°;270° ( 3*30°=2*45°=90°) deci se repeta la fiecare k*90°
in desen am folosit notatiile consacrate U8 si U12, pt radacinile de ordinul 8 si respectiv, 12, ale unitatii
total , 4 radacini comune
Anexe:
Lexiq, desenul e usor incorect la U8 cand am unit in plus si pe la 45 grade, dar nu am timp sa il editez si nu mai cer o corectare...faci tu desenul corect , odata din 45 in 45 grade. la U8, si oada tadin 30 si 30 grade la U12 si vezi varfurile care se suprapun si dac le numeri vezi ca sunt 4..
mersi si eu tuturor!
Alte întrebări interesante