Question

Cum se integreaza prin parti (x^3 + 2x^2 - x -3)2^x ?
Pe cine fac f(x) si f'(x)
g(x) si g'(x)

Answer 1

Integrarea prin parti are la baza faptul ca integrarea si derivarea fac operatii,, inverse" asupra unei functii, adica derivand integrala obtinem functia.
Cand aplica aceasta metoda intervine experienta noastra in a alege convenabil cine sa fie f (sa fie usor de derivat) si cine g' (trebuie sa putem calcula rapid pe g atunci cand stim pe g'), iar in final f'g sa fie usor integrabila
Asta arata ca alegerea nu este unica ci doar convenabila!!!
Sa aplic la noi
Prefer f=x^3+2x^2-x-3,care se deriveaza usor, iar f'=3x^2+4x-1 este si usor integrabila!
aleg g'=2^x , deci g=2^x/ln2
integrala din enunt
I=fg-Sf'g
Noua integrala I1= S(3x^2+4x-1)2^x dx care se rezolva aplican inca o data integrarea prin parti
unde aleg f1=3x^2+4x-1 f'1=6x+4
g'1=2^x
I1=f1g1-Sf'1*g1 dx
Aplic inca o data integrarea prin parti pentru a calcula
I2=S(6x+4)*2^x dx=(6x+4)*2^x/ln2-1/ln2*S6*2^x dx
Adunand toate formulele obtinem
I=(x^3+2x^2-x-1)*1/ln2*2^x-[(3x^2+4x-1)*1/ln2*2^x)-{(6x+4)*1/ln2*2^x-6/ln2*1/ln2*2^x}
Am notat cu S semnul integralei!