Question

Cum se rezolva astfel de exerciții?

Answer 1

Răspuns..............................................

Explicație pas cu pas:

Answer 2

$\it x*x= (x-1)(x-1)+1 = (x-1)^2+1\\ \\ x*x*x=[(x-1)^2+1-1](x-1)+1 = (x-1)^3+1$

Presupunem, prin inducție:

$\it \underbrace{x*x*x*\ ...\ *x}_{9\ ori}=(x-1)^9+1$

Vom demonstra că:

$\it \underbrace{x*x*x*\ ...\ *x}_{10\ ori}=(x-1)^{10}+1\\ \\ \\ \underbrace{x*x*x*\ ...\ *x}_{10\ ori}=\underbrace{x*x*x*\ ...\ *x}_{9\ ori} * x= [(x-1)^9+1]*x=\\ \\ =[(x-1)^9+1-1](x-1)+1 =(x-1)^{10}+1$

Acum, ecuația din enunț devine:

$\it (x-1)^{10}+1=1025|_{-1}\Rightarrow (x-1)^{10}=1024 \Rightarrow \sqrt[10]{\it (x-1)^{10}}=\sqrt[10]{\it1024}\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow |x-1|=2\Rightarrow x-1=\pm2 \Rightarrow x-1\in\{-2,\ 2\}_{+1} \Rightarrow x\in\{-1,\ 3\}$

Mulțimea soluțiilor ecuației este S = {-1,  3}