Question

Cum se rezolva sistemul:
x+y=5
xy=6 ?

Answer 1

x+y=5
2+3=5
2x3=6
__________-
x=2
y=3

x+y=5
3+2=5
3x2=6
_____________
x=3
y=2

Answer 2

x+y = 5
xy = 6

Metoda 1 de rezolvare:
Din ecuatia 1 obtinem substitutia:
y = 5 - x
Inlocuim in ecuatia 2
x(5 - x) = 6
-x² + 5x = 6     l * (-1)
x² - 5x = -6
x² - 5x + 6 = 0 
Ecuatia are 2 solutii:

$x_{12}= \frac{5+/- \sqrt{ (-5)^{2}-4*6 } }{2} = \frac{5+/- \sqrt{25-24} }{2}= \frac{5+/-1}{2}$

$x_{1} = \frac{5+1}{2}= \frac{6}{2}=3 => y_{1} = 5 - x = 5-3 = 2$

$x_{2} = \frac{5-1}{2}= \frac{4}{2}=2 => y_{2} = 5 - x = 5-2 = 3$

=> Avem doua solutii:
S1:  x = 2  si y = 3
S2:  x = 3  xi y = 2

Metoda 2 de rezolvare:

Stim ca forma generala a ecuatiei de gradul 2 este 
ax² + bx + c
Forma generala a ecuatiei de gradul 2, in functie de solutiile ei este:

x² - Sx + P
unde:
S = x₁ + x₂  (suma solutiilor)
P = x₁ * x₂   (produsul solutiilor)
Noi avem:
S = x + y = 5
P = xy = 6
Ecuatia de gradul 2 va fi:

x² - 5x + 6 = 0
Daca ne uitam la metoda 1 de rezolvare, observam ca am ajuns la aceeasi ecuatie,
dar mai pe ocolite.
O vom rezolva la fel dar difera un pic interpretarea rezultatelor.

$x_{12}= \frac{5+/- \sqrt{ (-5)^{2}-4*6 } }{2} = \frac{5+/- \sqrt{25-24} }{2}= \frac{5+/-1}{2}$

$x_{1} = \frac{5+1}{2}= \frac{6}{2}=3$

$x_{2} = \frac{5-1}{2}= \frac{4}{2}=2$

Avem doua solutii:
x₁ = 3
x₂ = 2
Aceste solutii le vom atribui necunoscutelor x si y din 
sistemul de ecuatii initial, astfel:
Tinand cont ca sistemul de ecuatii este simetric, => necunoscutele comuta intre ele.
=> 2 solutii
Solutia 1:
x = x₁ = 3
y = x₂ = 2

Solutia 2:
x = x₂ = 2
y = x₁ = 3