Question

Cum se scrie o permutare ca produs de transpozitii? Un exemplu, ceva?

Answer 1

Se poate compune permutarea cu o transpozitie , apoi cea obtinuta cu alta transpozitie, pana ce se ajunge la permutarea identitate .
Va rezulta o compunere de transpozitii , compus cu permutarea data este egal cu functia identitate , apoi compui cu inversele la transpozitii si afli ecuatia permutarii tale a= ....

Answer 2

Sa spunem ca ai o multime cu 5 elemente 1 2 3 4 5
O transpozitie $\sigma_{ij}$ inseamna ca schimbi intre ele elementele de pe pozitiile i si j
De exemplu pentru sirul dat o transpozitie $\sigma_{13}$ face o schimbare intre pozitiile 1 si 3, deci sirul va aparea 3 2 1 4 5
Daca sirul initial era 5 2 4 1 3 atunci in urma transpozitiei ar fi devenit: 4 2 5 1 3
Observi ca transpozitiile sunt simetrice adica $\sigma_{13}=\sigma_{31}$
Hai sa ne uitam daca pentru sirul 1 2 3 4 5 am face produsul a doua transpozitii
$\sigma_{13}:3 2 1 4 5$ si
$[\tau_{25}:1 5 3 4 2$
Pai compozitia este ca la functii obisnuite. Pentru k=1,2,3,4,5 avem
$\sigma(\tau(1))=\sigma(1)=3$
$\sigma(\tau(2))=\sigma(5)=5$
$\sigma(\tau(3))=\sigma(3)=1$
$\sigma(\tau(4))=\sigma(4)=4$
$\sigma(\tau(5))=\sigma(2)=2$
Deci in urma compunerii de functii noua permutare obtinuta este:
3 5 1 4 2

Mai este o metoda de a face aceasta compunere: pui cele 2 siruri unul sub altul
3 2 1 4 5
1 5 3 4 2
Si te apuci sa te uiti la sirul al doilea si sa inlocuiesti fiecare numar cu corespondentul sau din primul sir: Asadar, pe prima pozitie din sirul 2 este 1, in primul sir pe pozitia 1 este 3, pe a doua pozitie din sirul 2 este 5, in primul sir pe pozitia 5 este 5, pe a treia pozitie in sirul 2 este 3, pe pozitia 3 in sirul 1 este 1 si asa mai departe si obtii
3 5 1 4 2
Aceasta e considerata mai usoara pentru ca e asa vizuala
Poti sa observi ca orice produs de transpozitii ai face, tot ajungi sa obtii o permutare, deci niciodata nu o sa obtii 1 2 2 4 5 de exemplu, adica nu o sa ai un numar dublat din sir.
O alta proprietate interesanta este ca daca compui o transpozitie cu ea insasi, obtii sirul original
3 2 1 4 5
3 2 1 4 5

1 2 3 4 5
Pe pozitia 1 din sirul 2 este 3, pe a treia pozitie din sirul 1 este 1, pe pozitia 3 din sirul 2 este 1, pe prima pozitie din sirul 1 este 3, restul de pozitii 2 4 si 5 sunt identice.