Question

Cunoscand suma primilor n termeni ai unui șir (an)n≥1, Sn= 4n²-3n
a) Sa se determine formula termenului general an
b) Sa se arate ca șirul (an)n≥1 este o progresie aritmetica

Answer 1

S₁ = a₁ =  4 ·1² - 3·1 = 4-3  =1    pentru n =1              a₁ = 1 
pentru n =2        S₂ = a₁ +a₂ = 1 + a₂ = 4· 2² - 3·2 = 16 -6 = 10
                              a₂ = 10 - a₁ = 10 -1 =9
pentru n =3          S₃ = a₁ + a₂ +a₃ = 4·3² - 3·3 = 36 -9 =27 
                                       a₃ = 27 - a₁ -a₂ = 27 - 1 - 9= 17 
pentru n =4          S₄ =a₁ +a₂+a₃+a₄ = 4· 4²  -3·4 = 64 - 12 = 52 
                                    a₄ = 52 - a₁ -a₂ -a₃ = 52 - 27 = 25 
sirul  1 ,  9   , 17 , 25  ......... formeaza progresie aritmetica  cu ratia r=8
     a       = 1 + ( n -1 ) · 8 
       n
S         -  S         = a               = 4n²  - 3n  - 4( n -1) ² -3( n -1 ) = 
 n              n-1         n
= 4n²  -3n - 4n² + 8n -4 -3n +3 = 8n - 7
 termenul general a   = 8n -7 
                            n
dem. ca sirul este o prog . aritm    verificam definitia  : 
            2· a        =         a               +          a
                  n                  n -1                       n+1 

2·[ 8n -7 ] = 8 ·( n -1 )  - 7  +   8· ( n +1 )  -7 
 16n  - 14 = 8n - 8 -7  + 8n + 8  - 7  , adevarat ⇒ prog. aritm