Question

d. Arătaţi că numărul A = 1 +5² +54 + ... +534 este divizibil cu 26.
e. Arătaţi că numărul A = 7 + 7² +7³+...+7100 este divizibil cu 50.

Answer 1

Răspuns:

d) A este divizibil cu 26;

e) A este divizibil cu 50

Explicație pas cu pas:

d) observăm că:

${5}^{0} + {5}^{2} = 1 + 25 = \bf 26$

între 0 și 34 sunt 35 de numere, dintre care 18 pare => suma are 18 de termeni, pe care îi putem grupa câte doi:

$A = ({5}^{0} + {5}^{2}) + ({5}^{4} + {5}^{6}) + ... + ({5}^{28} + {5}^{30}) + ({5}^{32} + {5}^{34}) = ({5}^{0} + {5}^{2}) + {5}^{4}({5}^{0} + {5}^{2}) + ... + {5}^{28} ({5}^{0} + {5}^{2}) + {5}^{32}({5}^{0} + {5}^{2}) = ({5}^{0} + {5}^{2}) \cdot (1 + {5}^{4} + ... + {5}^{28} + {5}^{32} ) = \red{ \bf 26} \cdot (1 + {5}^{4} + ... + {5}^{28} + {5}^{32} )$

=> numărul A este divizibil cu 26

e) observăm că:

${7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4} = 7 + 49 + 343 + 2401 = \bf 2800$

suma are 100 de termeni, pe care îi putem grupa câte 4:

$A = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + ({7}^{5} + {7}^{6} + {7}^{7} + {7}^{8} + ... + ({7}^{97} + {7}^{98} + {7}^{99} + {7}^{100}) = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + {7}^{4}({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + ... + {7}^{96}({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) \cdot (1 + {7}^{4} + ... + {7}^{96}) = { \bf 2800} \cdot (1 + {7}^{4} + ... + {7}^{96} ) = \red{ \bf 50} \cdot 56 \cdot (1 + {7}^{4} + ... + {7}^{96} )$

=> numărul A este divizibil cu 50

q.e.d.